A proportie gouden of goddelijke proportie is een gelijkheid geassocieerd met ideeën van harmonie, schoonheid en perfectie. Euclides van Alexandrië, Griekse wiskundige die rond 300 voor Christus leefde. C., was een van de eerste denkers die dit concept formaliseerde dat tot op de dag van vandaag onderzoekers uit verschillende gebieden intrigeert.
De reden voor deze interesse is dat de gulden snede bij benadering kan worden waargenomen in de natuur, ook in de zaden en bladeren van planten en in het menselijk lichaam. De gulden snede is dan ook onderwerp van studie door verschillende professionals, zoals biologen, architecten, kunstenaars en ontwerpers.
Lees ook: Getal pi — een van de belangrijkste constanten in de wiskunde
Samenvatting over gulden snede
De gulden snede is de verhouding voor \(a>b>0\) zoals dat
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Onder deze omstandigheden, de reden DeB wordt de gulden snede genoemd.
De gulden snede is verbonden met opvattingen over evenwicht, zuiverheid en perfectie.
De Griekse letter ϕ (lees: fi) staat voor het gulden getal, de constante die wordt verkregen uit de gulden snede.
In de Fibonacci-reeks naderen de quotiënten tussen elke term en zijn voorganger het gulden getal.
De gulden rechthoek is een rechthoek waarvan de zijden in de gulden snede liggen.
Wat is de gulden snede?
Beschouw een lijnsegment dat in twee stukken is verdeeld: het grotere deel van de maat De en de kleinste B. realiseer dat een+b is de maat van het hele segment.
de gulden snede is gelijkheid onder de redenen\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) Het is \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), d.w.z
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
In deze context zeggen we dat De Het is B zijn in de gulden snede.
Maar voor welke waarden van De Het is B hebben we de gulden snede? Dat is wat we hierna zullen zien.
Hoe bereken je het gouden getal?
De reden \(\frac{a}b\)(of evenzo de reden \(\frac{a+b}a\)) resulteert in een constante die het gouden getal wordt genoemd en vertegenwoordigd door de Griekse letter ϕ. Het is dus gebruikelijk om te schrijven
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
Laten we, om het gulden getal te berekenen, kijken naar de gulden snede voor b = 1. Zo kunnen we gemakkelijk de waarde van vinden De en krijg ϕ vanuit gelijkheid \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Merk op dat we de gulden snede als volgt kunnen schrijven, gebruikmakend van de eigenschap kruisvermenigvuldiging:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Als we b = 1 vervangen, hebben we
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
De formule van Bhaskara toepassen voor deze kwadratische vergelijking concluderen we dat de positieve oplossing van De é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
Als De een maat is van een segment, negeren we de negatieve oplossing.
Dus hoe \(\frac{a}b=ϕ\), De exacte waarde van het gouden getal is:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Als we het quotiënt berekenen, krijgen we De geschatte waarde van het gouden getal:
\(ϕ≈1,618033989\)
Zie ook: Hoe wiskundige bewerkingen met breuken op te lossen?
Gulden Snede en de rij van Fibonacci
A Fibonacci-reeks is een lijst met getallen waarbij elke term, beginnend bij de derde, gelijk is aan de som van de twee voorgangers. Laten we eens kijken naar de eerste tien termen van deze reeks:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Terwijl we het quotiënt berekenen tussen elke term en zijn voorganger in de Fibonacci-reeks, we naderen het gouden getal ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1.5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1.6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1.6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1.625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1.6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1.61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1.61764…\)
Gulden snede en de gulden snede
Een rechthoek waar de langste zijde De en de kleinere kant B zijn in de gulden snede het heet de gouden rechthoek. Een voorbeeld van een gouden rechthoek is een rechthoek waarvan de zijden 1 cm zijn en \(\frac{1+\sqrt5}2\) cm.
Meer weten: Wat zijn recht evenredige grootheden?
Toepassingen van de gulden snede
Merk op dat we tot nu toe de gulden snede alleen in abstracte wiskundige contexten hebben bestudeerd. Vervolgens zullen we enkele toegepaste voorbeelden zien, maar voorzichtigheid is geboden: de gulden snede wordt in geen van deze gevallen exact weergegeven. Wat bestaat zijn analyses van verschillende contexten waarin het gouden getal lijkt zobij benadering.
Gulden snede in de architectuur
Sommige studies beweren dat schattingen van het aantal goud worden waargenomen in bepaalde verhoudingen van de afmetingen van de Piramide van Cheops in Egypte en het gebouw van het VN-hoofdkwartier in New York.
Gulden snede in het menselijk lichaam
De afmetingen van het menselijk lichaam variëren van persoon tot persoon en er is geen perfect lichaamstype. Echter, in ieder geval sinds het oude Griekenland zijn er debatten geweest over een wiskundig ideaal lichaam (en in werkelijkheid totaal onbereikbaar), met maatregelen die verband houden met de gulden snede. In deze theoretische context bv. de verhouding tussen de lengte van een persoon en de afstand tussen de navel en de grond zou het gouden getal zijn.
gulden snede in de kunst
Er is onderzoek naar de werken "De Vitruviusman" en "Mona Lisa" van de Italiaan Leonardo da Vinci, die de gebruik van gouden rechthoeken.
Gulden snede in de natuur
Er zijn onderzoeken die wijzen op a relatie tussen de gulden snede en de manier waarop de bladeren van bepaalde planten zijn verdeeld op een stengel. Deze rangschikking van bladeren wordt phyllotaxie genoemd.
Gulden snede in ontwerp
De gulden snede wordt ook bestudeerd en gebruikt op het gebied van Design as a tool voor projectsamenstelling.
Opgeloste oefeningen over de gulden snede
vraag 1
(Enem) Een lijnsegment wordt in twee delen verdeeld in de gulden snede wanneer het geheel in dezelfde verhouding staat tot een van de delen als dit deel tot het andere. Deze evenredigheidsconstante wordt gewoonlijk voorgesteld door de Griekse letter ϕ, en de waarde ervan wordt gegeven door de positieve oplossing van de vergelijking ϕ2 = ϕ+1.
Net als de kracht \(ϕ^2\), kunnen de hogere machten van ϕ worden uitgedrukt in de vorm \(aϕ+b\), waarbij a en b positieve gehele getallen zijn, zoals weergegeven in de tabel.
de potentie \(ϕ^7\), geschreven in de vorm aϕ+b (a en b zijn positieve gehele getallen), is
a) 5ϕ+3
b) 7ϕ+2
c) 9ϕ+6
d) 11ϕ+7
e) 13ϕ+8
Oplossing
Als \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), We moeten
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Het toepassen van de distributieve,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Als \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
E alternatief.
vraag 2
Beoordeel elke onderstaande uitspraak over het gouden getal als T (True) of F (False).
i. Het gulden getal ϕ is irrationeel.
II. De quotiënten tussen elke term en zijn voorganger in de Fibonacci-reeks benaderen de waarde van ϕ.
III. 1.618 is de afronding op drie decimalen van het gulden getal ϕ.
De juiste volgorde, van boven naar beneden, is
a) V-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) F-F-F
e) F-V-V
Oplossing
i. WAAR.
II. WAAR.
III. WAAR.
Alternatief A.
Bronnen
FRANCISCO, S.V. van L. Tussen de fascinatie en de realiteit van de gulden snede. Dissertatie (Professionele Master's Degree in Wiskunde in National Network) – Instituut voor Biowetenschappen, Letteren en Exacte Wetenschappen, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. São Paulo, 2017. Beschikbaar in: http://hdl.handle.net/11449/148903.
VERKOOP, J. van S. De gulden snede aanwezig in de natuur. Voltooiing van het cursuswerk (graad in wiskunde), Federaal Instituut voor Onderwijs, Wetenschap en Technologie van Piauí. Piauí, 2022. Beschikbaar in http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/handvat/123456789/1551.
Door Maria Luiza Alves Rizzo
Wiskunde leraar
Bron: Braziliaanse school - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao-aurea.htm