O standaardafwijking is een maat voor spreiding, evenals variantie en variatiecoëfficiënt. Bij het bepalen van de standaarddeviatie kunnen we een bereik rond het rekenkundig gemiddelde (scheiding tussen de som van getallen in een lijst en het aantal toegevoegde getallen) waar de meeste gegevens geconcentreerd zijn. Hoe groter de waarde van de standaarddeviatie, hoe groter de variabiliteit van de gegevens, dat wil zeggen hoe groter de afwijking van het rekenkundig gemiddelde.
Lees ook: Modus, gemiddelde en mediaan - de belangrijkste maatstaven voor centrale tendensen
Samenvatting standaarddeviatie
- Standaarddeviatie is een maat voor variabiliteit.
- Standaarddeviatienotatie is de Griekse kleine letter sigma (σ) of de letter s.
- De standaarddeviatie wordt gebruikt om de variabiliteit van de gegevens rond het gemiddelde te verifiëren.
- De standaarddeviatie bepaalt een bereik \(\links[\mu-\sigma,\mu+\sigma\rechts]\), waar de meeste gegevens zich bevinden.
- Om de standaarddeviatie te berekenen, moeten we de vierkantswortel van de variantie vinden:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
Wat is standaarddeviatie?
De standaarddeviatie is a spreidingsmaatstaf aangenomen in de statistiek. Het gebruik ervan is gekoppeld aan variantie interpretatie, wat ook een maat voor spreiding is.
In de praktijk de standaarddeviatie bepaalt een interval, gecentreerd op het rekenkundig gemiddelde, waarin de meeste gegevens zijn geconcentreerd. Dus hoe groter de waarde van de standaarddeviatie, hoe groter de onregelmatigheid van de gegevens (meer informatie heterogeen), en hoe kleiner de waarde van de standaarddeviatie, hoe kleiner de onregelmatigheid van de gegevens (meer informatie homogeen).
Hoe bereken je de standaarddeviatie?
Om de standaarddeviatie van een dataset te berekenen, we moeten de vierkantswortel van de variantie vinden. Dus de formule voor het berekenen van de standaarddeviatie is
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
- \(x_1,x_2,x_3,\ldots, x_N\) → betrokken gegevens.
- μ → rekenkundig gemiddelde van de gegevens.
- N → hoeveelheid gegevens.
- \( \sum_{i=1}^{N}\links (x_i-\mu\rechts)^2\ =\ \links (x_1-\mu\rechts)^2+\links (x_2-\mu\rechts )^2+\links (x_3-\mu\rechts)^2+...+\links (x_N-\mu\rechts)^2 \)
Het laatste item, dat verwijst naar de teller van de radicand, geeft de som van de kwadraten aan van het verschil tussen elk gegevenspunt en het rekenkundig gemiddelde. houd er rekening mee dat de maateenheid voor de standaarddeviatie is dezelfde maateenheid als de gegevens X1,X2,X3,…,XNee.
Hoewel het schrijven van deze formule een beetje ingewikkeld is, is de toepassing ervan eenvoudiger en directer. Hieronder ziet u een voorbeeld van hoe u deze uitdrukking kunt gebruiken om de standaarddeviatie te berekenen.
- Voorbeeld:
Twee weken lang werden in een stad de volgende temperaturen geregistreerd:
Weekdag |
Zondag |
Seconde |
Derde |
Vierde |
Vijfde |
Vrijdag |
Zaterdag |
week 1 |
29°C |
30°C |
31°C |
31,5°C |
28°C |
28,5°C |
29°C |
week 2 |
28,5°C |
27°C |
28°C |
29°C |
30°C |
28°C |
29°C |
In welke van de twee weken bleef de temperatuur in deze stad regelmatiger?
Oplossing:
Om de regelmaat van de temperatuur te analyseren, moeten we de standaarddeviaties van de geregistreerde temperaturen in week 1 en 2 vergelijken.
- Laten we eerst kijken naar de standaarddeviatie voor week 1:
Merk op dat het gemiddelde μ1 Het is Nee1 zij zijn
\(\mu_1=\frac{29+30+31+31.5+28+28.5+29}{7}\ongeveer29.57\)
\(N_1=7 \) (7 dagen per week)
We moeten ook het kwadraat van het verschil tussen elke temperatuur en de gemiddelde temperatuur berekenen.
\(\links (29-29.57\rechts)^2=0.3249\)
\(\links (30-29.57\rechts)^2=0.1849\)
\(\links (31-29.57\rechts)^2=2.0449\)
\(\links (31.5-29.57\rechts)^2=3.7249\)
\(\links (28-29.57\rechts)^2=2.4649\)
\(\links (28.5-29.57\rechts)^2=1.1449\)
\(\links (29-29.57\rechts)^2=0.3249\)
Als we de resultaten optellen, hebben we dat de teller van de radicand in de standaarddeviatieformule is
\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)
Dus de standaarddeviatie van week 1 is
\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \ongeveer 1.208\ °C\)
Opmerking: dit resultaat betekent dat de meeste temperaturen van week 1 in het interval [28,36 °C, 30,77 °C] liggen, dat wil zeggen het interval \(\links[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\rechts]\).
- Laten we nu eens kijken naar de standaarddeviatie van week 2:
Volgens dezelfde redenering hebben we
\(\mu_2=\frac{28.5+27+28+29+30+28+29}{7}=28.5\)
\(N_2=7\)
\(\links (28,5-28,5\rechts)^2=0\)
\(\links (27-28.5\rechts)^2=2.25\)
\(\links (28-28.5\rechts)^2=0.25\)
\(\links (29-28.5\rechts)^2=0.25\)
\(\links (30-28.5\rechts)^2=2.25\)
\(\links (28-28.5\rechts)^2=0.25\)
\(\links (29-28.5\rechts)^2=0.25\)
\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)
Dus de standaarddeviatie van week 2 is
\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \ongeveer 0,89\ °C\)
Dit resultaat betekent dat de meeste temperaturen van week 2 binnen het bereik liggen \(\links[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\rechts]\), dat wil zeggen, het bereik \(\links[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\rechts]\).
realiseer dat \(\sigma_2, dat wil zeggen, de standaarddeviatie van week 2 is kleiner dan de standaarddeviatie van week 1. Daarom presenteerde week 2 meer regelmatige temperaturen dan week 1.
Wat zijn de soorten standaarddeviatie?
De typen standaarddeviatie zijn gerelateerd aan het type gegevensorganisatie. In het vorige voorbeeld werkten we met de standaarddeviatie van niet-gegroepeerde gegevens. Als u de standaarddeviatie wilt berekenen van een reeks anderszins georganiseerde gegevens (bijvoorbeeld gegroepeerde gegevens), moet u de formule aanpassen.
Wat zijn de verschillen tussen standaarddeviatie en variantie?
de standaardafwijking is de vierkantswortel van de variantie:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\links (x_i-\mu\right)^2}{N}\)
Wanneer variantie wordt gebruikt om de variabiliteit van een dataset te bepalen, is het resultaat de data-eenheid in het kwadraat, wat de analyse ervan bemoeilijkt. De standaarddeviatie, die dezelfde eenheid heeft als de gegevens, is dus een mogelijk hulpmiddel om het variantieresultaat te interpreteren.
Meer weten:Absolute frequentie — het aantal keren dat hetzelfde antwoord verscheen tijdens het verzamelen van gegevens
Opgeloste oefeningen over standaarddeviatie
vraag 1
(FGV) In een klas van 10 studenten waren de cijfers van de studenten in een beoordeling:
6 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
10 |
De standaarddeviatie van deze lijst is bij benadering
A) 0,8.
B) 0,9.
C) 1.1.
D) 1.3.
E) 1.5.
Oplossing:
Alternatief C.
Volgens de verklaring N = 10. Het gemiddelde van deze lijst is
\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)
Verder,
\(\links (6-8\rechts)^2=4\)
\(\links (7-8\rechts)^2=1\)
\(\links (8-8\rechts)^2=0\)
\(\links (9-8\rechts)^2=1\)
\(\links (10-8\rechts)^2=4\)
\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)
Dus de standaarddeviatie van deze lijst is
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\ongeveer1.1\)
vraag 2
Overweeg de onderstaande beweringen en waardeer ze allemaal met T (waar) of F (onwaar).
i. De vierkantswortel van de variantie is de standaarddeviatie.
II. De standaarddeviatie heeft geen relatie met het rekenkundig gemiddelde.
III. Variantie en standaarddeviatie zijn voorbeelden van spreidingsmetingen.
De juiste volgorde, van boven naar beneden, is
A) V-V-F
B) F-F-V
C) F-V-F
D) F-F-F
E) V-F-V
Oplossing:
E alternatief.
i. De vierkantswortel van de variantie is de standaarddeviatie. (WAAR)
II. De standaarddeviatie heeft geen relatie met het rekenkundig gemiddelde. (vals)
De standaarddeviatie geeft een interval rond het rekenkundig gemiddelde aan waarin de meeste gegevens vallen.
III. Variantie en standaarddeviatie zijn voorbeelden van spreidingsmetingen. (WAAR)
Door Maria Luiza Alves Rizzo
Wiskunde leraar
Bron: Braziliaanse school - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/desvio-padrao.htm
