DE 1e graads vergelijking is een vergelijking met een onbekende van graad 1. Vergelijkingen zijn wiskundige zinnen met onbekenden, dit zijn letters die onbekende waarden vertegenwoordigen, en gelijkheid. De wiskundige zin van de 1e graads vergelijking is Dex + B = 0, waar De en B zijn reële getallen, en De verschilt van 0. Het doel van het schrijven van een 1e graads vergelijking is om te vinden wat de waarde is van het onbekende dat aan de vergelijking voldoet. Deze waarde staat bekend als de oplossing of wortel van de vergelijking.
Lees ook: Exponentiële vergelijking — de vergelijking met ten minste één onbekende in een van zijn exponenten
Onderwerpen in dit artikel
- 1 - Samenvatting van de 1e graads vergelijking
- 2 - Wat is een 1e graads vergelijking?
-
3 - Hoe de eerstegraadsvergelijking berekenen?
- → 1e graads vergelijking met een onbekende
- ? 1e graads vergelijking met twee onbekenden
- 4 - Vergelijking van de 1e graad in Enem
- 5 - Opgeloste oefeningen op 1e graads vergelijking
Samenvatting van de 1e graads vergelijking
De 1e graads vergelijking is een wiskundige zin die 1 graad onbekenden heeft.
De 1e graads vergelijking met één onbekende heeft een unieke oplossing.
De wiskundige zin die de 1e graads vergelijking beschrijft met één onbekende is Dex + B = 0.
Om een 1e graads vergelijking met een onbekende op te lossen, voeren we bewerkingen uit aan beide zijden van de gelijkheid, om het onbekende te isoleren en de waarde ervan te vinden.
De 1e graads vergelijking met twee onbekenden heeft oneindige oplossingen.
De wiskundige zin die de 1e graads vergelijking beschrijft met twee onbekenden is Dex + By + c = 0
De eerstegraadsvergelijking is een terugkerende term in Enem, die meestal gepaard gaat met vragen die interpretatie van de tekst en het samenstellen van de vergelijking vereisen voordat deze wordt opgelost.
Wat is 1e graads vergelijking?
Vergelijking is een wiskundige zin met een gelijkheid en een of meer onbekenden.. De onbekenden zijn onbekende waarden en we gebruiken letters, zoals x, y, z, om ze weer te geven.
Wat de graad van een vergelijking bepaalt, is de exponent van het onbekende. Dus, als de exponent van het onbekende graad 1 heeft, hebben we een vergelijking van de 1e graad. Zie voorbeelden hieronder:
2x + 5 = 9 (1e graads vergelijking met één onbekende, x)
y – 3 = 0 (1e graads vergelijking met één onbekende, y)
5x + 3y – 3 = 0 (1e graads vergelijking met twee onbekenden, x en y)
Niet stoppen nu... Er is meer na de advertentie ;)
Hoe de eerstegraadsvergelijking berekenen?
We stellen een gegeven situatie voor als een vergelijking wanneer we streven naar: vind de waarden die het onbekende kan aannemen waardoor de vergelijking waar is, dat wil zeggen, vind de oplossingen of de oplossing van de vergelijking. Laten we hieronder kijken hoe we de oplossing van een 1e graads vergelijking met één onbekende en de oplossingen van een 1e graads vergelijking met twee onbekenden kunnen vinden.
→ 1e graads vergelijking met één onbekende
DE 1e graads vergelijking met één onbekende is de vergelijking van het type:
\(ax+b=0\ \)
In die zin, De en B zijn echte cijfers. We gebruiken het gelijkheidsteken als referentie. Daarvoor hebben we het 1e lid van de vergelijking en na het gelijkteken hebben we het 2e lid van de vergelijking.
Om de oplossing van deze vergelijking te vinden, proberen we de variabele x te isoleren. laten we aftrekken B aan beide kanten van de vergelijking:
\(ax+b-b=0-b\ \)
\(ax=-\ b\)
Nu delen we door De aan beide kanten:
\(\frac{ax}{a}=\frac{-b}{a}\)
\(x=\frac{-b}{a}\)
Belangrijk:Dit proces van het uitvoeren van een actie aan beide kanten van de vergelijking wordt vaak beschreven als "naar de andere kant gaan" of "naar de andere kant gaan met de omgekeerde bewerking".
Voorbeeld 1:
Vind de oplossing van de vergelijking:
2x - 6 = 0
Oplossing:
Om de variabele x te isoleren, voegen we 6 toe aan beide zijden van de vergelijking:
\(2x-6+6\ =0+6\)
\(2x=6\)
Nu gaan we van beide kanten door 2 delen:
\(\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}\)
\(x=3\ \)
We vinden als oplossing van de vergelijking x = 3. Dit betekent dat als we 3 vervangen in plaats van x, de vergelijking waar is:
\(2\cdot3-6=0\)
\(6-6=0\ \)
\(0=0\)
Voorbeeld 2:
We kunnen de vergelijking directer oplossen met behulp van de praktische methode:
\(5x+1=-\ 9\)
Laten we eerst definiëren wat het eerste lid van de vergelijking is en wat het tweede lid van de vergelijking is:
Om de oplossing van de vergelijking te vinden, isoleren we het onbekende op het eerste lid van de vergelijking. Hiervoor wordt wat niet onbekend is doorgegeven aan het tweede lid dat de inverse bewerking uitvoert, te beginnen met + 1. Terwijl het optelt, wordt het doorgegeven aan het tweede lid door af te trekken:
\(5x+1=-\ 9\ \)
\(5x=-\ 9-1\ \)
\(5x=-\ 10\)
We willen de waarde van x, maar we vinden de waarde van 5x. Omdat 5 x vermenigvuldigt, gaat het naar de rechterkant door de inverse bewerking van uit te voeren vermenigvuldiging, dat wil zeggen, verdelen.
\(5x=-\ 10\)
\(x=\frac{-10}{5}\)
\(x=-\ 2\)
De oplossing van deze vergelijking is x = - 2.
Voorbeeld 3:
Los De vergelijking op:
\(5x+4=2x-6\)
Om deze vergelijking op te lossen, zullen we in eerste instantie de termen met een onbekende op het eerste lid plaatsen en de termen die geen onbekende hebben op het tweede lid. Laten we ze hiervoor identificeren:
\({\color{red}5}{\color{red}x}+ 4 = {\color{red}2}{\color{red}x}\ –\ 6\)
In rood staan de termen die een onbekende hebben, 5x en 2x, en in het zwart de termen die geen onbekende hebben. Aangezien + 4 geen onbekende heeft, laten we het doorgeven aan het tweede lid door af te trekken.
\(\kleur{rood}{5x}=\kleur{rood}{2x}-6-4\)
Merk op dat 2x een onbekende heeft, maar in het tweede lid staat. We geven het door aan het eerste lid, waarbij we 5x aftrekken:
\({\kleur{rood}{5x}-\kleur{rood}{2x}=-6-4}\)
\(3x = - 10\)
Nu we de 3 delen passeren, hebben we dat:
\(x=-\frac{10}{3}\)
Belangrijk: De oplossing van een vergelijking kan een breuk zijn, zoals in het bovenstaande voorbeeld.
◆ Videoles over 1e graads vergelijking met een onbekende
➝ 1e graads vergelijking met twee onbekenden
Wanneer er een 1e graads vergelijking is die twee onbekenden heeft, is er geen enkele oplossing, maar eerder: oneindige oplossingen. Een 1e graads vergelijking met twee onbekenden is een vergelijking van het type:
\(ax+door+c=0\)
Om enkele van de oneindige oplossingen van de vergelijking te vinden, kennen we een waarde toe aan een van zijn variabelen en vinden we de waarde van de andere variabele.
Voorbeeld:
Vind 3 mogelijke oplossingen voor de vergelijking:
\(2x+y+3=0\)
Oplossing:
Om 3 oplossingen te vinden, kiezen we enkele waarden voor de variabele x, te beginnen met x = 1:
\(2\cdot1+y+3=0\)
\(2+y+3=0\ \)
\(y+5=0\)
Als we y isoleren in het eerste lid, hebben we dat:
\(y=0-5\)
\(y=-\ 5\)
Dus een mogelijke oplossing voor de vergelijking is x = 1 en y = - 5.
Laten we, om nog een oplossing van de vergelijking te vinden, een nieuwe waarde toewijzen aan een van de variabelen. We doen y = 1.
\(2x+1+3=0\ \)
\(2x+4=0\ \)
Isoleren x:
\(2x=-\ 4\ \)
\(x=\frac{-4}{2}\)
\(x=-\ 2\)
De tweede oplossing van deze vergelijking is x = - 2 en y = 1.
Ten slotte, om een derde oplossing te vinden, zullen we een nieuwe waarde kiezen voor een van uw variabelen. We doen x = 0.
\(2\cdot0+y+3=0\)
\(0+y+3=0\)
\(y+3=0\ \)
\(y=0-3\)
\(y=-\ 3\ \)
De derde oplossing is x = 0 en y = -3.
We kunnen deze drie oplossingen voorstellen als geordende paren van de vorm (x, y). De gevonden oplossingen voor de vergelijking waren:
\(\links (1,-5\rechts);\ \links(-2,\ 1\rechts);\links (0,-3\rechts)\)
Belangrijk: Omdat deze vergelijking twee onbekenden heeft, hebben we oneindige oplossingen. De waarden voor de variabelen zijn willekeurig gekozen, zodat we andere totaal verschillende waarden aan de variabelen konden toewijzen en drie andere oplossingen voor de vergelijking konden vinden.
Meer weten: 2e graads vergelijking - hoe te berekenen?
1e graads vergelijking in Enem
Vragen met betrekking tot 1e graads vergelijkingen in Enem vereisen dat de kandidaat in staat is om: probleemsituaties omzetten in vergelijking, met behulp van uitingsgegevens. Zie competentie Wiskunde gebied 5 voor de duidelijkheid.
Gebied 5 Competentie: Modelleer en los problemen op met sociaal-economische of technisch-wetenschappelijke variabelen, met behulp van algebraïsche representaties.
Merk dan op dat in Enem wordt verwacht dat de kandidaat probleemsituaties uit ons dagelijks leven kan modelleren en oplossen met behulp van een vergelijking. Binnen deze competentie zijn er twee specifieke vaardigheden met betrekking tot vergelijkingen die Enem wil beoordelen: vaardigheid 19 en vaardigheid 21.
H19: Identificeer algebraïsche representaties die de relatie tussen grootheden uitdrukken.
H21: Los een probleemsituatie op waarvan de modellering algebraïsche kennis omvat.
Dus als je voor de Enem studeert, is het naast het beheersen van de resolutie van 1e graads vergelijkingen belangrijk om te trainen in de interpretatie van problemen met betrekking tot vergelijkingen, omdat het ontwikkelen van het vermogen om probleemsituaties te modelleren door ze als een vergelijking te schrijven, voor de Enem, net zo belangrijk is als het kunnen oplossen van de vergelijking.
Opgeloste oefeningen op 1e graads vergelijking
vraag 1
(Enem 2012) De vraag- en aanbodcurves van een product vertegenwoordigen respectievelijk de hoeveelheden die verkopers en consumenten bereid zijn te verkopen, afhankelijk van de prijs van het product. In sommige gevallen kunnen deze curven worden weergegeven door rechte lijnen. Stel dat de hoeveelheden vraag en aanbod van een product respectievelijk worden weergegeven door de vergelijkingen:
QO = –20 + 4P
QD = 46 - 2P
waarin QO is de hoeveelheid aanbod, QD is de gevraagde hoeveelheid en P is de prijs van het product.
Uit deze vraag- en aanbodvergelijkingen vinden economen de marktevenwichtsprijs, dat wil zeggen wanneer QO en QD Gelijk. Wat is voor de beschreven situatie de waarde van de evenwichtsprijs?
a) 5
B) 11
C) 13
D) 23
E) 33
Oplossing:
alternatief B
Om de evenwichtsprijs te vinden, stellen we eenvoudig de twee vergelijkingen aan elkaar gelijk:
\(Q_O=Q_D\)
\(–20+4P=46 –2P\)
\(4P+2P=46+20\)
\(6P=66\)
\(P=\frac{66}{6}\)
\(P=11\)
vraag 2
(Enem 2010) Het hinkstapspringen is een atletiekmodaliteit waarbij de atleet op één voet, één stap en één sprong springt, in die volgorde. De sprong met start op één voet zal zo worden gedaan dat de atleet als eerste landt op dezelfde voet die de start gaf; in de pas zal hij landen met de andere voet, van waaruit de sprong wordt uitgevoerd.
Beschikbaar op: www.cbat.org.br (aangepast).
Een atleet van het hinkstapspringen, na het bestuderen van zijn bewegingen, realiseerde zich dat, van het tweede tot het eerste sprong nam het bereik af met 1,2 m, en van de derde naar de tweede sprong nam het bereik af met 1,5 m. Als je in dit evenement het doel van 17,4 m wilt bereiken en gezien je studie, moet de afstand die je bij de eerste sprong bereikt tussen
A) 4,0 m en 5,0 m.
B) 5,0 m en 6,0 m.
C) 6,0 m en 7,0 m.
D) 7,0 m en 8,0 m.
E) 8,0 m en 9,0 m.
Oplossing:
alternatief D
In de eerste sprong bereikt hij een afstand van x meter.
Bij de tweede sprong neemt de afstand met 1,2 m af vanaf de eerste sprong, zodat hij een afstand van x – 1,2 meter bereikt.
Bij de derde sprong neemt de afstand met 1,5 m af vanaf de tweede sprong, dus de afgelegde afstand bij de derde sprong is x – 1,2 – 1,5 meter, wat hetzelfde is als x – 2,7 meter.
We weten dat de som van deze afstanden gelijk moet zijn aan 17,4 meter, dus:
\(x+x-1,2+x-2,7=17.4\)
\(3x-3,9=17.4\)
\(3x=17.4+3.9\)
\(3x=21,3\)
\(x=\frac{21,3}{3}\)
\(x=7.1\)
De afstand die bij de eerste sprong wordt bereikt, ligt dus tussen 7,0 en 8,0 meter.
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
