DE De stelling van de interne bissectrice is speciaal ontwikkeld voor: driehoeken en laat zien dat wanneer we de interne bissectrice van een hoek van de driehoek volgen, het ontmoetingspunt van de bissectrice met de tegenoverliggende zijde die zijde verdeelt in lijnsegmenten evenredig met de aangrenzende zijden van die hoek. Met de toepassing van de interne bissectrice stelling het is mogelijk om de waarde van de zijde of segmenten van de driehoek te bepalen met behulp van de verhouding ertussen.
Zie ook: Mediaan, bissectrice en hoogte van een driehoek - wat is het verschil?
Samenvatting over de stelling van de interne bissectrice:
De bissectrice is een straal die de hoek in twee congruente hoeken verdeelt.
De stelling van de interne bissectrice is specifiek voor driehoeken.
Deze stelling bewijst dat de bissectrice de overstaande zijde in. verdeelt proportionele segmenten aan de zijkanten grenzend aan hoek.
Videoles over de stelling van de interne bissectrice
Niet stoppen nu... Er is meer na de advertentie ;)
Wat is de bissectricestelling?
Voordat we begrijpen wat de stelling van de binnenste bissectrice zegt, is het belangrijk om te weten wat is bissectrice van een hoek. Het is een straal die de hoek in twee congruente delen verdeelt., dat wil zeggen, twee delen die dezelfde maat hebben.
Als we begrijpen wat de bissectrice is, zien we dat deze bestaat in de binnenhoek van een driehoek. Wanneer we de bissectrice van een hoek van de driehoek afbakenen, verdeelt deze de overstaande zijde in twee segmenten. Wat de interne bissectrice betreft, de stelling zegt dat de twee segmenten die erdoor worden gedeeld evenredig zijn met de aangrenzende zijden van de hoek.
Merk op dat de bissectrice de zijde AC in twee segmenten verdeelt, AD en DC. De bissectrice stelling laat zien dat:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
Meer weten: Stelling van Pythagoras — een andere stelling ontwikkeld voor driehoeken
Bewijs van de interne bissectrice stelling
In onderstaande driehoek ABC zullen we het segment BD afbakenen, dat de bissectrice is van deze driehoek. Verder zullen we de verlenging van zijn zijde CB en het segment AE, parallel aan BD, volgen:
Hoek AEB is congruent met hoek DBC, omdat CE een is Rechtdoor dwars op de parallelle segmenten AE en BD.
het toepassen van de stelling van Thales, concludeerden we dat:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Nu we het blijft om aan te tonen dat BE = AB.
Aangezien x de maat is van de hoek ABD en DBC, krijgen we bij het analyseren van de hoek ABE:
ABE = 180 - 2x
Als y de maat is van hoek EAB, hebben we de volgende situatie:
We weten dat de som van de binnenhoeken van de driehoek ABE is 180°, dus we kunnen berekenen:
180 - 2x + x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Als hoek x en hoek y dezelfde maat hebben, is driehoek ABE gelijkbenig. Daarom is de zijde AB = AE.
Aangezien de som van de binnenhoeken van een driehoek altijd gelijk is aan 180°, hebben we in driehoek ACE:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Aangezien y = x, is driehoek ACE gelijkbenig. Daarom zijn de segmenten AE en AC congruent. AE verwisselen voor AC in reden, is bewezen dat:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Voorbeeld:
Zoek de waarde van x in de volgende driehoek:
Als we de driehoek analyseren, krijgen we de volgende verhouding:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
Kruisvermenigvuldiging:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
x = 4
Lees ook: Opmerkelijke punten van een driehoek - wat zijn ze?
Opgelost oefeningen op de interne bissectrice stelling
vraag 1
Als we naar de onderstaande driehoek kijken, kunnen we zeggen dat de waarde van x is:
a) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Oplossing:
alternatief D
Als we de stelling van de interne bissectrice toepassen, krijgen we de volgende berekening:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
Kruisvermenigvuldiging:
\(27x=18\ \links (30-x\rechts)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
vraag 2
Analyseer de volgende driehoek, wetende dat uw metingen in centimeters zijn gegeven.
De omtrek van driehoek ABC is gelijk aan:
A) 75 cm
B) 56 cm
C) 48 cm
D) 24 cm
E) 7,5 cm
Oplossing:
alternatief C
Als we de bissectricestelling toepassen, vinden we eerst de waarde van x:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \links (4x-9\rechts)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7.5\)
Dus de onbekende kanten meten:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
Onthouden dat de meter lengte: gebruikt was de cm, de perimeter van deze driehoek is gelijk aan:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
Zou je naar deze tekst willen verwijzen in een school- of academisch werk? Kijken:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Inner Bisectrice Stelling"; Braziliaanse School. Beschikbaar in: https://preprod.brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm. Betreden op 04 april 2022.
