de factorisatie van veeltermen bestaat uit methoden die zijn ontwikkeld om een polynoom te herschrijven als een product tussen polynomen. Schrijf de polynoom als de vermenigvuldiging tussen twee of meer factoren helpt bij het vereenvoudigen van algebraïsche uitdrukkingen en het begrijpen van een polynoom.
Er zijn verschillende gevallen van factoring, en voor elk daarvan zijn er specifieke technieken.. De bestaande gevallen zijn: factoring door gemeenschappelijke factor in bewijs, factoring door groepering, verschil tussen twee vierkanten, perfect vierkant trinominaal, som van twee kubussen en verschil van twee kubussen.
Lees verder:Wat is polynoom?
Samenvatting over factoring-polynomen
Factorisatie van polynomen zijn technieken die worden gebruikt om de polynoom weer te geven als een product tussen polynomen.
We gebruiken deze factorisatie om te vereenvoudigen algebraïsche uitdrukkingen.
-
De factoringgevallen zijn:
Factoring op gemeenschappelijke factor in bewijsmateriaal;
Factoring door groepering;
perfecte vierkante trinominaal;
verschil van twee vierkanten;
som van twee kubussen;
Verschil van twee kubussen.
Polynomiale factoringgevallen
Om een polynoom te ontbinden, het is noodzakelijk om te analyseren in welke van de factoringgevallen de situatie past, zijnde: factoring door gemeenschappelijke factor in bewijs, factoring door groepering, verschil tussen twee vierkanten, perfecte vierkante trinominaal, som van twee kubussen en verschil van twee kubussen. Laten we eens kijken hoe we de factorisatie in elk van hen kunnen uitvoeren.
Niet stoppen nu... Er is meer na de advertentie ;)
Gemeenschappelijke factor in bewijs
We gebruiken deze factoringmethode wanneer er een factor is die alle termen van de polynoom gemeen hebben. Deze gemeenschappelijke factor zal worden gemarkeerd als één factor, en de andere factor, het resultaat van de divisie van de termen door die gemeenschappelijke factor, worden tussen haakjes geplaatst.
Voorbeeld 1:
20xy + 12x² + 8xy²
Door elke term van deze polynoom te analyseren, is het mogelijk om te zien dat x in alle termen wordt herhaald. Ook zijn alle coëfficiënten (20, 12 en 8) veelvouden van 4, dus de gemeenschappelijke factor voor alle termen is 4x.
Als we elke term delen door de gemeenschappelijke factor, krijgen we:
20xy: 4x = 5y
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Nu zullen we de factorisatie schrijven en de gemeenschappelijke factor bewijzen en de som van de resultaten tussen haakjes:
4x (5j + 3x + 2j²)
Voorbeeld 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Als je het letterlijke deel van elke term analyseert, kun je zien dat a²b in alle termen wordt herhaald. Merk op dat er geen getal is dat 2, 3 en – 4 tegelijkertijd deelt. Dus de gemeenschappelijke factor is slechts a²b.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
4e5b³: a²b = 4a³
Dus de factorisatie van deze polynoom zal zijn:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Zie ook: Optellen, aftrekken en vermenigvuldigen van veeltermen - begrijp hoe ze worden gedaan
groepering
Deze methode is gebruikt wanneer er geen gemeenschappelijke factor is voor alle termen van de polynoom. In dit geval identificeren we termen die kunnen worden gegroepeerd met een gemeenschappelijke factor en markeren ze.
Voorbeeld:
Factor de volgende polynoom:
ax + 4b + bx + 4a
We groeperen de termen met a en b als gemeenschappelijke factor:
bijl + 4a + bx + 4b
Als we a en b bewijzen in termen van twee bij twee, hebben we:
a(x+4)+b(x+4)
Merk op dat binnen de haakjes de factoren hetzelfde zijn, dus we kunnen deze polynoom herschrijven als:
(a + b) (x + 4)
perfecte vierkante trinominaal
Trinomen zijn veeltermen met 3 termen. Een polynoom staat bekend als een perfecte vierkante trinoom als het is som kwadraat of verschil kwadraat resultaat, dat is:
a² + 2ab + b² = (a + b) ²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
Belangrijk: Niet elke keer dat er drie termen zijn, zal deze polynoom een perfecte vierkante trinominaal zijn. Daarom moet, voordat de factorisatie wordt uitgevoerd, worden geverifieerd of de trinominaal in dit geval past.
Voorbeeld:
Factor, indien mogelijk, de polynoom
x² + 10x + 25
Na analyse van deze trinominaal, zullen we de. extraheren vierkantswortel eerste en laatste termijn:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
Het is belangrijk om te verifiëren dat de centrale term, dat wil zeggen 10x, gelijk is aan \(2\cdot\ x\cdot5\). Merk op dat het inderdaad hetzelfde is. Dit is dus een perfecte vierkante trinominaal, die kan worden ontbonden door:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
verschil van twee vierkanten
Als we een verschil van twee vierkanten hebben, we kunnen dit polynoom ontbinden door het te herschrijven als het product van de som en het verschil.
Voorbeeld:
Factor de polynoom:
4x² – 36y²
Eerst berekenen we de vierkantswortel van elk van zijn termen:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36j^2}=6j\)
Nu zullen we deze polynoom herschrijven als het product van de som en het verschil van de gevonden wortels:
4x² – 36j² = (2x + 6j) (2x – 6j)
Lees ook: Algebraïsche berekening met monomials — leer hoe de vier bewerkingen plaatsvinden
som van twee kubussen
De som van twee kubussen, dat wil zeggen, a³ + b³, kan worden meegerekend als:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Voorbeeld:
Factor de polynoom:
x³ + 8
We weten dat 8 = 2³, dus:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
Verschil van twee kubussen
Het verschil van twee kubussen, dat wil zeggen, a³ – b³, niet anders dan de som van twee kubussen, kan worden ontbonden als:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Voorbeeld:
Factor de polynoom uit
8x³ - 27
We weten dat:
8x³ = (2x)
27 = 3³
Dus we moeten:
\(8x^3-27=\links (2x-3\rechts)\)
\(8x^3-27=\links (2x-3\rechts)\links (4x^2+6x+9\rechts)\)
Opgeloste oefeningen over factoring-polynomen
vraag 1
Polynomiale factorisatie gebruiken om de algebraïsche expressie te vereenvoudigen \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), we zullen vinden:
a) x + 2
B) x - 2
C) \(\frac{x-2}{x+2}\)
D) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x - 2) (x + 2)
Oplossing:
alternatief D
Als we naar de teller kijken, zien we dat x² + 4x + 4 een geval is van een perfecte vierkante trinominaal en kan worden herschreven als:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
De teller x² – 4 is het verschil van twee vierkanten en kan worden herschreven als:
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
Daarom:
\(\frac{\links (x+2\rechts)^2}{\links (x+2\rechts)\links (x-2\rechts)}\)
Merk op dat de term x + 2 zowel in de teller als in de noemer voorkomt, dus de vereenvoudiging wordt gegeven door:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
vraag 2
(Unifil Institute) Aangezien twee getallen, x en y, zodanig zijn dat x + y = 9 en x² – y² = 27, is de waarde van x gelijk aan:
a) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Oplossing:
alternatief C
Merk op dat x² - y² het verschil is tussen twee vierkanten en kan worden ontbonden als het product van de som en het verschil:
x² – y² = (x + y) (x – y)
We weten dat x + y = 9:
(x + y) (x - y) = 27
9 (x - y) = 27
x - y = 27: 9
x - y = 3
Dan kunnen we een vergelijkingssysteem:
De twee regels toevoegen:
2x + 0 y = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
