Vector is de weergave die de grootte, richting en richting van een vectorgrootheid bepaalt. Vectoren zijn rechte segmenten die aan één uiteinde door een pijl zijn georiënteerd.
We noemen de vectoren met een letter en een pijltje.
Vectoren karakteriseren vectorgrootheden, dit zijn grootheden die oriëntatie nodig hebben, dat wil zeggen richting en richting. Enkele voorbeelden zijn: kracht, snelheid, versnelling en verplaatsing. De numerieke waarde is niet voldoende, het is noodzakelijk om te beschrijven waar deze grootheden werken.
modulus van een vector
De modulus of intensiteit van de vector is de numerieke waarde, gevolgd door de maateenheid van de grootte die deze vertegenwoordigt, bijvoorbeeld:
We geven de module aan tussen staven met de pijl of, alleen de letter, zonder staven en zonder pijl.
De lengte van de vector is evenredig met de modulus. Een grotere vector vertegenwoordigt een grotere modulus.
de vectormodule is 4 eenheden, terwijl vector
is 2 eenheden.
Richting van een vector
De richting van de vector is de helling van de steunlijn waarop deze wordt bepaald. Er is slechts één richting voor elke vector.
gevoel van een vector
De richting van de vector wordt aangegeven door de pijl. Dezelfde richting kan twee richtingen bevatten, zoals omhoog of omlaag en naar links of naar rechts.
Door een richting als positief aan te nemen, wordt de tegenovergestelde richting, negatief, weergegeven met een minteken voor het vectorsymbool.
Resulterende vector
De resulterende vector is het resultaat van vectorbewerkingen en is equivalent aan een set vectoren. Het is handig om de vector te kennen die het effect vertegenwoordigt dat door meer dan één vector wordt geproduceerd.
Een lichaam kan bijvoorbeeld onderhevig zijn aan een reeks krachten en we willen weten wat het resultaat is dat ze allemaal samen op dit lichaam zullen produceren. Elke kracht wordt weergegeven door een vector, maar het resultaat kan slechts door één vector worden weergegeven: de resulterende vector.
De resulterende vector, , van horizontale richting en richting naar rechts, is het resultaat van optellingen en aftrekkingen van de vectoren.
,
,
en
. De resulterende vector vertoont een neiging van het lichaam om in deze richting te bewegen.
De vectoren met verticale richting hebben dezelfde grootte, dat wil zeggen dezelfde module. Omdat ze tegengestelde betekenissen hebben, heffen ze elkaar op. Hieruit blijkt dat er geen beweging van de kist in verticale richting zal plaatsvinden.
Bij het analyseren van de vectoren en
, die dezelfde richting en tegengestelde richtingen hebben, realiseren we ons dat een deel van de kracht naar rechts "blijft", als de vector
is groter dan de
, dat wil zeggen, de module van
het is groter.
Om de resulterende vector te bepalen, voeren we vectoroptellen en aftrekken uit.
Optellen en aftrekken van vectoren met dezelfde richting
Met gelijke zintuigen, we voegen de modules toe en houden de richting en richting aan.
Voorbeeld:
Grafisch plaatsen we de vectoren in volgorde, zonder hun modules te veranderen. Het begin van het ene moet samenvallen met het einde van het andere.
De commutatieve eigenschap van optellen is geldig, omdat de volgorde het resultaat niet verandert.
Met tegengestelde zintuigen, trekken we de modules af en behouden we de richting. De richting van de resulterende vector is die van de vector met de grootste modulus.
Voorbeeld:
de vector is het overgebleven deel van
, na intrekking
.
Het aftrekken van de ene vector is gelijk aan het optellen met het tegenovergestelde van de andere.
Optellen en aftrekken van loodrechte vectoren
Om twee vectoren met loodrechte richtingen op te tellen, verplaatsen we de vectoren zonder hun modulus te veranderen, zodat het begin van de ene samenvalt met het einde van de andere.
De resulterende vector verbindt het begin van de eerste met het einde van de tweede.
Om de grootte van de resulterende vector tussen twee loodrechte vectoren te bepalen, matchen we het begin van de twee vectoren.
De modulus van de resulterende vector wordt bepaald door de stelling van Pythagoras.
Optellen en aftrekken van schuine vectoren
Twee vectoren zijn schuin wanneer ze een hoek vormen tussen hun andere richtingen dan 0°, 90° en 180°. Om schuine vectoren op te tellen of af te trekken, worden de parallellogram- en polygoonlijnmethoden gebruikt.
parallellogram methode:
Om de methode of regel van het parallellogram tussen twee vectoren uit te voeren en de resulterende vector te tekenen, volgen we deze stappen:
De eerste stap is om hun oorsprong op hetzelfde punt te plaatsen en lijnen evenwijdig aan de vectoren te trekken om een parallellogram te vormen.
De tweede is om een diagonale vector op het parallellogram te tekenen, tussen de vereniging van vectoren en de vereniging van parallelle lijnen.
De stippellijnen lopen evenwijdig aan de vectoren en de gevormde geometrische figuur is een parallellogram.
De resulterende vector is de lijn die de oorsprong van de vectoren verbindt met de parallellen.
O modulus van de resulterende vector wordt verkregen door de cosinuswet.
Waar:
R is de grootte van de resulterende vector;
a is de vectormodule ;
b is de modulus van de vector ;
is de hoek gevormd tussen de richtingen van de vectoren.
De parallellogrammethode wordt gebruikt om een paar vectoren op te tellen. Als u meer dan twee vectoren wilt toevoegen, moet u ze twee aan twee optellen. Bij de vector die het resultaat is van de som van de eerste twee, tellen we de derde op, enzovoort.
Een andere manier om meer dan twee vectoren toe te voegen, is door de polygoonlijnmethode te gebruiken.
veelhoekige lijnmethode:
De veelhoekige lijnmethode wordt gebruikt om de vector te vinden die het resultaat is van het optellen van vectoren. Deze methode is vooral handig bij het optellen van meer dan twee vectoren, zoals de volgende vectoren ,
,
en
.
Om deze methode te gebruiken, moeten we de vectoren zo ordenen dat het einde van de ene (pijl) samenvalt met het begin van de andere. Het is belangrijk om de module, richting en richting te behouden.
Nadat we alle vectoren in de vorm van een veelhoekige lijn hebben gerangschikt, moeten we de resulterende vector traceren die van het begin van de eerste naar het einde van de laatste gaat.
Het is belangrijk dat de resulterende vector de veelhoek sluit, waarbij de pijl samenvalt met de pijl in de laatste vector.
De commutatieve eigenschap is geldig, aangezien de volgorde waarin we de plotvectoren plaatsen de resulterende vector niet verandert.
vector ontleding
Een vector ontleden is het schrijven van de componenten waaruit deze vector bestaat. Deze componenten zijn andere vectoren.
Elke vector kan worden geschreven als een samenstelling van andere vectoren, via een vectorsom. Met andere woorden, we kunnen een vector schrijven als de som van twee vectoren, die we componenten noemen.
Met behulp van een Cartesiaans coördinatensysteem, met loodrechte x- en y-assen, bepalen we de componenten van de vector.
de vector is het resultaat van de vectorsom tussen de samenstellende vectoren.
en
.
de vector kantelen
vormt een rechthoekige driehoek met de x-as. We bepalen dus de modules van de componentvectoren met behulp van trigonometrie.
Component module ax.
Componentenmodule ay.
de vectormodule wordt verkregen uit de stelling van Pythagoras.
Voorbeeld
Een kracht wordt uitgeoefend door een blok uit de grond te trekken. De moduluskracht van 50 N is 30° gekanteld ten opzichte van de horizontaal. Bepaal de horizontale en verticale componenten van deze kracht.
Gegevens:
Vermenigvuldiging van een reëel getal met een vector
Door een reëel getal te vermenigvuldigen met een vector, is het resultaat een nieuwe vector met de volgende kenmerken:
- Dezelfde richting als het reële getal niet nul is;
- Dezelfde richting, als het reële getal positief is, en in de tegenovergestelde richting als het negatief is;
- De modulus is het product van de modulus van het reële getal en de modulus van de vermenigvuldigde vector.
Product tussen een reëel getal en een vector
Waar: is de vector die resulteert uit de vermenigvuldiging;
is het werkelijke aantal;
is de vector die wordt vermenigvuldigd.
Voorbeeld
Laat het reële getal n = 3 en de vector van modulo 2 is het product ertussen gelijk aan:
Moduleberekening
De richting en richting zullen hetzelfde zijn.
Oefening 1
(Enem 2011) De wrijvingskracht is een kracht die afhankelijk is van het contact tussen lichamen. Het kan worden gedefinieerd als een tegengestelde kracht van de verplaatsingsneiging van lichamen en wordt gegenereerd als gevolg van onregelmatigheden tussen twee oppervlakken die in contact zijn. In de figuur stellen de pijlen de krachten voor die op het lichaam inwerken en de vergrote stip geeft de onregelmatigheden weer die tussen de twee oppervlakken bestaan.
In de figuur zijn de vectoren die de krachten vertegenwoordigen die verplaatsing en wrijving veroorzaken respectievelijk:
De) 
B) 
C) 
NS) 
en) 
Juiste antwoord: letter a) 
De pijlen vertegenwoordigen de vectoren van krachten die in de beweging in horizontale richting werken, aangezien ze een actie-reactiepaar zijn, hebben ze tegengestelde richtingen.
De verticale pijlen vertegenwoordigen de acties van de Gewichtskracht en de Normaalkracht en aangezien ze gelijk zijn, heffen ze elkaar op, zonder beweging in verticale richting.
Oefening 2
(UEFS 2011) Het vectordiagram in de figuur schetst de krachten die worden uitgeoefend door twee elastiekjes op een tand van een persoon die een orthodontische behandeling ondergaat.
Ervan uitgaande dat F = 10,0N, sen45° = 0,7 en cos45° = 0,7, is de intensiteit van de kracht die door de elastieken op de tand wordt uitgeoefend, in N, gelijk aan
a) 3√10
b) 2√30
c) 2√85
d) 3√35
e) 2√45
Correct antwoord: c) 2√85
De intensiteit van de kracht die op de tand wordt uitgeoefend, wordt verkregen door de wet van cosinus.
a en b zijn gelijk aan 10 N.
Factoring van de vierkantswortel geeft ons:
Daarom is de intensiteit van de resulterende kracht die door de elastiekjes op de tand wordt uitgeoefend: .
Oefening 3
(PUC RJ 2016) Krachten F1, F2, F3 en F4, in de figuur, maken rechte hoeken met elkaar en hun modules zijn respectievelijk 1 N, 2 N, 3 N en 4 N.
Bereken de modulus van de netto kracht, in N.
a) 0
b) √2
c) 2
d) 2√ 2
e) 10
Correct antwoord: d) 2√ 2
We gebruiken de veelhoekige lijnmethode om de resulterende vector te bepalen. Om dit te doen, herschikken we de vectoren zodat het einde van de ene samenvalt met het begin van de andere, als volgt:
Met behulp van een coördinatensysteem met oorsprong aan het begin van de resulterende vector, kunnen we de modules van zijn componenten als volgt bepalen:
Zo moeten we:
Ry = 3 - 1 = 2 N
Rx = 4 - 2 = 2 N
De grootte van de resulterende vector wordt bepaald door de stelling van Pythagoras.
Daarom is de modulus van de netto kracht gelijk aan .
leer meer over
- Vectoren: optellen, aftrekken en ontleden.
- Vectorhoeveelheden
✖
