Rekenkundige progressie (PA)

DE Rekenkundige progressie (PA) is een reeks getallen waarbij het verschil tussen twee opeenvolgende termen altijd hetzelfde is. Dit constante verschil wordt de P.A.

Dus vanaf het tweede element van de reeks zijn de getallen die verschijnen het resultaat van de som van de constante met de waarde van het vorige element.

Dit is wat het onderscheidt van de geometrische progressie (PG), omdat in deze de getallen worden vermenigvuldigd met de verhouding, terwijl ze in de rekenkundige progressie worden toegevoegd.

Rekenkundige reeksen kunnen een vast aantal termen (eindige P.A.) of een oneindig aantal termen (oneindig P.A.) hebben.

Om aan te geven dat een reeks oneindig doorgaat, gebruiken we ellipsen, bijvoorbeeld:

• de reeks (4, 7, 10, 13, 16, ...) is een oneindige P.A.
• de reeks (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) is een eindige P.A.

Elke term van een P.A. wordt geïdentificeerd door de positie die deze in de reeks inneemt en om elke term weer te geven gebruiken we een letter (meestal de letter De) gevolgd door een nummer dat de positie in de reeks aangeeft.

Bijvoorbeeld de term De₄ in P.A (2, 4, 6, 8, 10) is het getal 8, omdat het het getal is dat de 4e positie in de reeks inneemt.

Classificatie van een P.A.

Volgens de verhoudingswaarde worden rekenkundige progressies ingedeeld in:

• Constante: wanneer de verhouding gelijk is aan nul. Bijvoorbeeld: (4, 4, 4, 4, 4...), waarbij r = 0.
• Groeien: wanneer de verhouding groter is dan nul. Bijvoorbeeld: (2, 4, 6, 8,10...), waarbij r = 2.
• aflopend: wanneer de verhouding kleiner is dan nul (15, 10, 5, 0, - 5,...), waarbij r = - 5

PA-eigenschappen

1e eigendom:

In een eindige PA is de som van twee termen op gelijke afstand van de extremen gelijk aan de som van de extremen.

Voorbeeld

2e eigendom:

Als we rekening houden met drie opeenvolgende termen van een P.A., zal de middelste term gelijk zijn aan het rekenkundig gemiddelde van de andere twee termen.

Voorbeeld

3e eigendom:

In een eindige PA met een oneven aantal termen, zal de centrale term gelijk zijn aan het rekenkundig gemiddelde tussen termen die er op gelijke afstand van liggen. Deze eigenschap vloeit voort uit de eerste.

Algemene term formule

Waar,

an: term die we willen berekenen
a1: eerste termijn van P.A.
n: positie van de term die we willen ontdekken
r: reden

Formule uitleg

Omdat de verhouding van een P.A. constant is, kunnen we de waarde ervan berekenen uit alle opeenvolgende termen, dat wil zeggen:

Daarom kunnen we de waarde van de tweede term van de PA vinden door te doen:

Om de derde term te vinden, gebruiken we dezelfde berekening:

De waarde van a. vervangen₂, die we eerder vonden, hebben we:

Als we dezelfde redenering volgen, kunnen we vinden:

Als we de gevonden resultaten observeren, merken we op dat elke term gelijk zal zijn aan de som van de eerste term met de verhouding vermenigvuldigd met de vorige positie.

Deze berekening wordt uitgedrukt door de formule van de algemene term van P.A., waarmee we elk element van een rekenkundige progressie kunnen kennen.

Voorbeeld

Bereken de 10e term van de P.A.: (26, 31, 36, 41, ...)

Oplossing

Eerst moeten we vaststellen dat:

De₁ = 26
r = 31 - 26 = 5
n = 10 (10e termijn).

Als we deze waarden in de formule van de algemene term vervangen, hebben we:

De_Nee = de₁ + (n - 1). r
De₁₀ = 26 + (10-1). 5
De₁₀ = 26 + 9 .5
De₁₀ = 71

Daarom is de tiende term van de aangegeven rekenkundige reeks gelijk aan 71.

Algemene term formule van elke k term

Om een ​​algemene term te definiëren, die we an noemen, hebben we vaak niet de eerste term a1, maar we kennen een andere term, die we ak noemen.

We kunnen de algemene termformule van elke k-term gebruiken:

Merk op dat het enige verschil de verandering was van index 1 in de eerste formule naar k in de tweede.

Wezen,

an: de n-de term van de P.A. (een term in elke n positie)
ak: de k-de term van een P.A. (een term op elke k-positie)
r: de reden

Som van de voorwaarden van een P.A.

Gebruik de formule om de som van de termen van een eindige P.A. te vinden:

Waar,

zo_Nee: som van de eerste n termen van P.A.
De₁: eerste termijn van P.A.
De_Nee: neemt de n-de positie in de reeks in (een term op positie n)
Nee: termijnpositie

Lees ook over PA en PG.

Oefening opgelost

Oefening 1

PUC/RJ - 2018

Wetende dat de getallen in de rij (y, 7, z, 15) in rekenkundige volgorde staan, wat is dan de som y + z waard?

a) 20
b) 14
c) 7
d) 3,5
e) 2

Zie antwoord

Om de waarde van z te vinden, kunnen we de eigenschap gebruiken die zegt dat wanneer we drie opeenvolgende termen hebben, de middelste term gelijk zal zijn aan het rekenkundig gemiddelde van de andere twee. Dus we hebben:

Als z gelijk is aan 11, dan is de verhouding gelijk aan:

r = 11 - 7 = 4

Op deze manier is y gelijk aan:

y = 7 - 4 = 3

daarom:

y+z = 3 + 11 = 14

Alternatief: b) 14

Oefening 2

IFRS - 2017

In de onderstaande afbeelding hebben we een reeks rechthoeken, allemaal met hoogte a. De basis van de eerste rechthoek is b en volgende rechthoeken is de basiswaarde van de vorige plus een maateenheid. De basis van de tweede rechthoek is dus b+1 en de derde is b+2 enzovoort.

Overweeg de onderstaande uitspraken.

I - De volgorde van de rechthoekgebieden is een rekenkundige reeks van verhouding 1.
II - De volgorde van de rechthoekgebieden is een rekenkundige reeks van verhouding a.
III - De volgorde van de gebieden van de rechthoeken is een geometrische progressie van verhouding a.
IV - De oppervlakte van de n-de rechthoek (A_Nee) kan worden verkregen met formule A_Nee = een. (b + n - 1).

Vink het alternatief aan dat de juiste stelling(en) bevat.

Daar.
b) II.
c) III.
d) II en IV.
e) III en IV.

Zie antwoord

Als we het gebied van de rechthoeken berekenen, hebben we:

een = een. B
DE₁ = een. (b + 1) = een. b + a
DE₂ = een. (b + 2) = een. B. + 2e
DE₃ = een. (b + 3) = een. b + 3a

Uit de gevonden uitdrukkingen merken we op dat de reeks een P.A.-verhouding vormt die gelijk is aan De. Als we de reeks voortzetten, vinden we het gebied van de n-de rechthoek, die wordt gegeven door:

DE_Nee= een. b + (n - 1) .a
DE_Nee = een. b + een. Bij

de zetten De als bewijs hebben we:

DE_Nee = een (b + n - 1)

Alternatief: d) II en IV.

Oefening 3

UERJ

Erken het houden van een voetbalkampioenschap waarin de waarschuwingen die atleten ontvangen alleen worden weergegeven door gele kaarten. Deze kaarten worden omgezet in boetes volgens de volgende criteria:

• De eerste twee ontvangen kaarten leveren geen boetes op;
• De derde kaart levert een boete op van R$ 500,00.
• De volgende kaarten genereren boetes waarvan de waarden altijd worden verhoogd met R $ 500,00 ten opzichte van de waarde van de vorige boete.

De tabel toont de boetes die betrekking hebben op de eerste vijf kaarten die aan een atleet zijn toegekend.

Denk aan een atleet die 13 gele kaarten kreeg tijdens het kampioenschap. Het totale bedrag, in reais, van de boetes die door al deze kaarten worden gegenereerd, is:

a) 30.000
b) 33 000
c) 36 000
d) 39 000

Zie antwoord

Correct antwoord: b) 33 000

Vanaf de derde gele kaart wordt het bedrag van de boete verhoogd in een PA met een verhouding van R $ 500,00. Gezien de eerste termijn, a1, met de waarde van de derde kaart, R$ 500,00.

Om het totale bedrag van de boetes te bepalen, moeten we de formule van de som van de voorwaarden van de P.A.

Aangezien de atleet 13 gele kaarten heeft, maar de eerste twee geen boetes opleveren, maken we een P.A. van 13-2 termen, dat wil zeggen 11 termen.

We hebben dus de volgende waarden:

a1 = 500
n = 11
r = 500

Om de waarde van de n-de term, a11, te vinden, gebruiken we de algemene term-formule.

an = a1 + (n-1).r
a21 = 500 +(11-1) x 500
a21 = 500 + 10 x 500
a21 = 5500

Het toepassen van de formule van de som van termen van een P.A.

Los meer oefeningen op in:

Rekenkundige progressie - Oefeningen

Leer meer door ook te lezen:

• Numerieke volgorde
• Geometrische progressie
• Geometrische progressie - Oefeningen
• Wiskundige formules