Het vlakke figuurgebied vertegenwoordigt de omvang van de uitbreiding van de figuur in het vlak. Als platte figuren kunnen we onder andere de driehoek, de rechthoek, de ruit, de trapezium, de cirkel noemen.
Gebruik de onderstaande vragen om uw kennis van dit belangrijke onderwerp van geometrie te controleren.
Wedstrijdproblemen opgelost
vraag 1
(Cefet/MG - 2016) Het vierkante gebied van een site moet worden verdeeld in vier gelijke delen, ook vierkant, en, in een van hen moet een inheems bosreservaat (arceed area) worden gehandhaafd, zoals weergegeven in figuur a volgen.
Wetende dat B het middelpunt is van segment AE en C het middelpunt is van segment EF, het gearceerde gebied, in m2, geef mij
a) 625,0.
b) 925.5.
c) 1562,5.
d) 2500,0.
Correct alternatief: c) 1562.5.
Als we de figuur observeren, zien we dat het gearceerde gebied overeenkomt met het gebied van het vierkant met een zijde van 50 m minus het gebied van de driehoeken BEC en CFD.
De afmeting van zijde BE, van driehoek BEC, is gelijk aan 25 m, aangezien punt B de zijde in twee congruente segmenten verdeelt (middelpunt van het segment).
Hetzelfde gebeurt met zijden EC en CF, dat wil zeggen dat hun afmetingen ook gelijk zijn aan 25 m, aangezien punt C het middelpunt is van segment EF.
Zo kunnen we het gebied van driehoeken BEC en CFD berekenen. Gezien de twee zijden die bekend staan als de basis, zal de andere zijde gelijk zijn aan de hoogte, aangezien driehoeken rechthoeken zijn.
Als we de oppervlakte van het vierkant en de driehoeken BEC en CFD berekenen, hebben we:
Daarom is het gearceerde gebied, in m2, maatregelen 1562,5.
vraag 2
(Cefet/RJ - 2017) Een vierkant met een x-zijde en een gelijkzijdige driehoek met een y-zijde hebben oppervlakten van dezelfde maat. Er kan dus worden gezegd dat de x / y-verhouding gelijk is aan:
Correct alternatief: .
De informatie in het probleem is dat de gebieden hetzelfde zijn, dat wil zeggen:
Het gebied van de driehoek wordt gevonden door de basismeting te vermenigvuldigen met de hoogtemeting en het resultaat te delen door 2. Aangezien de driehoek gelijkzijdig is en de zijde gelijk aan y, wordt de hoogtewaarde gegeven door:
Daarom kan worden gezegd dat de x / y-verhouding gelijk is aan .
vraag 3
(IFSP - 2016) Een openbaar plein in de vorm van een cirkel heeft een straal van 18 meter. Markeer in het licht van het bovenstaande het alternatief dat uw gebied voorstelt.
a) 1.017,36 m2
b) 1.254,98 m2
c) 1.589,77 m2
d) 1.698,44 m2
e) 1.710,34 m2
Correct alternatief: a) 1 017, 36 m2.
Om de oppervlakte van het vierkant te vinden, moeten we de formule voor de oppervlakte van de cirkel gebruiken:
A = π.R2
Als we de straalwaarde vervangen en π = 3,14 beschouwen, vinden we:
EEN = 3.14. 182 = 3,14. 324 = 1 017, 36 m2
Daarom is de vierkante oppervlakte 1 017, 36 m2.
vraag 4
(IFRS - 2016) Een rechthoek heeft de afmetingen x en y, die worden uitgedrukt door de x-vergelijkingen2 = 12 en (y - 1)2 = 3.
De omtrek en oppervlakte van deze rechthoek zijn respectievelijk
a) 6√3 + 2 en 2 + 6√3
b) 6√3 en 1 + 2√3
c) 6√3 + 2 en 12
d) 6 en 2√3
e) 6√3 + 2 en 2√3 + 6
Correct alternatief: e) 6√3 + 2 en 2√3 + 6.
Laten we eerst de vergelijkingen oplossen om de waarden van x en y te vinden:
X2= 12 ⇒ x = √12 = √4.3 = 2√3
(j - 1) 2= 3 ⇒ y = -3 + 1
De omtrek van de rechthoek is gelijk aan de som van alle zijden:
P = 2,2-3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2
Om het gebied te vinden, vermenigvuldigt u gewoon x.y:
A = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6
Daarom zijn de omtrek en het gebied van de rechthoek respectievelijk 6√3 + 2 en 2√3 + 6.
vraag 5
(Apprentice Sailor - 2016) Analyseer de volgende figuur:
Wetende dat EP de straal is van de middelste halve cirkel in E, zoals weergegeven in de bovenstaande afbeelding, bepaal je de waarde van het donkerste gebied en vink je de juiste optie aan. Gegevens: nummer π=3
a) 10 cm2
b) 12 cm2
c) 18 cm2
d) 10 cm2
e) 24 cm2
Correct alternatief: b) 12 cm2.
Het donkerste gebied wordt gevonden door het gebied van de halve omtrek toe te voegen aan het gebied van de driehoek ABD. Laten we beginnen met het berekenen van de oppervlakte van de driehoek, merk daarvoor op dat de driehoek een rechthoek is.
Laten we de AD-kant van x noemen en de maat ervan berekenen met behulp van de stelling van Pythagoras, zoals hieronder aangegeven:
52= x2 + 32
X2 = 25 - 9
x = √16
x = 4
Als we de AD-zijmaat kennen, kunnen we het gebied van de driehoek berekenen:
We moeten nog steeds het gebied van de halve omtrek berekenen. Merk op dat de straal gelijk zal zijn aan de helft van de meting aan de AD-zijde, dus r = 2 cm. Het oppervlak van de halve omtrek is gelijk aan:
Het donkerste gebied wordt gevonden door te doen: AT = 6 + 6 = 12 cm2
Daarom is de waarde van het donkerste gebied 12 cm2.
vraag 6
(Enem - 2016) Een man, vader van twee kinderen, wil twee percelen grond kopen, met oppervlakten van dezelfde grootte, één voor elk kind. Een van de bezochte gronden is al afgebakend en hoewel het geen conventioneel formaat heeft (zoals weergegeven in figuur B), beviel het de oudste zoon en werd het daarom gekocht. De jongste zoon heeft een architectonisch project voor een huis dat hij wil bouwen, maar daarvoor heeft hij van een terrein in rechthoekige vorm (zoals weergegeven in figuur A) waarvan de lengte 7 m langer is dan de breedte.
Om de jongste zoon tevreden te stellen, moet deze heer een rechthoekig stuk land vinden waarvan de afmetingen, in meters, in lengte en breedte, respectievelijk gelijk zijn aan
a) 7,5 en 14,5
b) 9.0 en 16.0
c) 9.3 en 16.3
d) 10.0 en 17.0
e) 13,5 en 20,5
Correct alternatief: b) 9.0 en 16.0.
Aangezien de oppervlakte van figuur A gelijk is aan de oppervlakte van figuur B, laten we eerst deze oppervlakte berekenen. Laten we hiervoor figuur B verdelen, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding:
Merk op dat we bij het delen van de figuur twee rechthoekige driehoeken hebben. Daarom zal de oppervlakte van figuur B gelijk zijn aan de som van de oppervlakten van deze driehoeken. Als we deze gebieden berekenen, hebben we:
Aangezien figuur A een rechthoek is, wordt de oppervlakte bepaald door te doen:
DEDE = x. (x + 7) = x2 + 7x
Door het gebied van figuur A gelijk te stellen aan de gevonden waarde voor het gebied van figuur B, vinden we:
X2 + 7x = 144
X2 + 7x - 144 = 0
Laten we de 2e graads vergelijking oplossen met behulp van de formule van Bhaskara:
Aangezien een maat niet negatief kan zijn, laten we de waarde gelijk aan 9 nemen. Daarom zal de breedte van het land in figuur A gelijk zijn aan 9 m en de lengte gelijk aan 16 m (9+7).
Daarom moeten de lengte- en breedtematen respectievelijk gelijk zijn aan 9,0 en 16,0.
vraag 7
(Enem - 2015) Een gsm-bedrijf heeft twee antennes die zullen worden vervangen door een nieuwe, krachtigere. De dekkingsgebieden van de te vervangen antennes zijn cirkels met een straal van 2 km, waarvan de omtrek het punt O raakt, zoals weergegeven in de figuur.
Punt O geeft de positie van de nieuwe antenne aan, en het dekkingsgebied zal een cirkel zijn waarvan de omtrek extern zal raken aan de omtrekken van de kleinere dekkingsgebieden. Met de installatie van de nieuwe antenne is de meting van het dekkingsgebied, in vierkante kilometers, uitgebreid met
a) 8
b) 12
c) 16
d) 32
e) 64
Correct alternatief: a) 8 π.
De vergroting van de meting van het dekkingsgebied wordt gevonden door de gebieden van de kleinere cirkels van de grotere cirkel te verkleinen (verwijzend naar de nieuwe antenne).
Aangezien de omtrek van het nieuwe dekkingsgebied uitwendig de kleinere omtrekken raakt, zal de straal gelijk zijn aan 4 km, zoals aangegeven in de onderstaande afbeelding:
Laten we de oppervlakten A. berekenen1 en de2 van de kleinere cirkels en oppervlakte A3 uit de grotere cirkel:
DE1 = A2 = 22. π = 4 π
DE3 = 42.π = 16 π
De meting van het vergrote gebied wordt gevonden door te doen:
A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π
Daarom is met de installatie van de nieuwe antenne de dekkingsgebiedmaat, in vierkante kilometers, vergroot met 8 π.
vraag 8
(Enem - 2015) Schema I toont de configuratie van een basketbalveld. De grijze trapezoïden, mandflesjes genoemd, komen overeen met beperkte gebieden.
Streven naar de richtlijnen van het Centraal Comité van de International Basketball Federation (Fiba) in 2010, die de markeringen verenigde van de verschillende legeringen, werd een wijziging voorzien in de mandflessen van de rechtbanken, die rechthoeken zouden worden, zoals weergegeven in het schema II.
Na het uitvoeren van de geplande wijzigingen, was er een verandering in het gebied dat door elke mandfles werd ingenomen, wat overeenkomt met een (a)
a) verhoging van 5800 cm2.
b) 75 400 cm verhoging2.
c) verhoging van 214 600 cm2.
d) afname van 63 800 cm2.
e) afname van 272 600 cm2.
Correct alternatief: a) verhoging van 5800 cm².
Om erachter te komen wat de verandering in de bezette ruimte was, berekenen we de oppervlakte voor en na de verandering.
Bij de berekening van schema I gebruiken we de formule voor het trapeziumoppervlak. In diagram II gebruiken we de formule voor de oppervlakte van de rechthoek.
De gebiedsverandering is dan:
A = AII - EENik
A = 284 200 - 278 400 = 5 800 cm2
Daarom was er na het uitvoeren van de geplande wijzigingen een verandering in het gebied dat door elke mandfles werd ingenomen, wat overeenkomt met een toename van 5800 cm².
Voorgestelde oefeningen (met resolutie)
vraag 9
Ana besloot een rechthoekig zwembad in haar huis te bouwen van 8 m basis en 5 m hoog. Rondom, in de vorm van een trapeze, was het gevuld met gras.
Wetende dat de hoogte van de trapeze 11 m is en de bases 20 m en 14 m zijn, wat is dan de oppervlakte van het deel dat gevuld was met gras?
a) 294 m2
b) 153 m2
c) 147 m2
d) 216 m2
Correct alternatief: c) 147 m2.
Aangezien de rechthoek, die het zwembad vertegenwoordigt, in een grotere figuur, de trapeze, wordt ingevoegd, laten we beginnen met het berekenen van het gebied van de externe figuur.
Het trapeziumvormige oppervlak wordt berekend met behulp van de formule:
Waar,
B is de maat van de grootste basis;
b is de maat van het kleinste grondtal;
h is de hoogte.
Door de verklaringsgegevens in de formule te vervangen, hebben we:
Laten we nu de oppervlakte van de rechthoek berekenen. Daarvoor hoeven we alleen de basis te vermenigvuldigen met de hoogte.
Om het met gras bedekte gebied te vinden, moeten we de ruimte die door het zwembad wordt ingenomen aftrekken van het trapezegebied.
Het grasveld was dus 147 m2.
Zie ook: Trapezegebied
vraag 10
Om het dak van zijn pakhuis te renoveren, besloot Carlos koloniale tegels te kopen. Bij dit type dak zijn 20 stuks nodig per vierkante meter dak.
Als het dak van de plaats wordt gevormd door twee rechthoekige platen, zoals in de bovenstaande afbeelding, hoeveel tegels moet Carlos dan kopen?
a) 12000 tegels
b) 16000 tegels
c) 18000 tegels
d) 9600 tegels
Correct alternatief: b) 16000 tegels.
Het magazijndak is gemaakt van twee rechthoekige platen. Daarom moeten we de oppervlakte van een rechthoek berekenen en vermenigvuldigen met 2.
Het totale dakoppervlak is dus 800 m2.2. Als elke vierkante meter 20 tegels nodig heeft, berekenen we met behulp van een eenvoudige regel van drie hoeveel tegels het dak van elk magazijn vullen.
Daarom zal het nodig zijn om 16 duizend tegels te kopen.
Zie ook: Rechthoekgebied
vraag 11
Marcia wil graag twee identieke houten vazen om de ingang van haar huis te versieren. Omdat ze maar één van haar favorieten kon kopen, besloot ze een meubelmaker in te huren om nog een vaas met dezelfde afmetingen te bouwen. De vaas moet vier zijden hebben in een gelijkbenige trapeziumvorm en de basis is een vierkant.
Hoeveel vierkante meter hout is er nodig om het stuk te reproduceren, zonder rekening te houden met de dikte van het hout?
a) 0,2131 m2
b) 0,1311 m2
c) 0,2113 m2
d) 0,3121 m2
Correct alternatief: d) 0,3121 m2.
Een gelijkbenige trapeze is het type met gelijke zijden en verschillende grootte bases. Uit de afbeelding hebben we de volgende metingen van de trapezius aan elke kant van het vat:
Kleinere basis (b): 19 cm;
Grotere basis (B): 27 cm;
Hoogte (h): 30 cm.
Met de waarden in de hand berekenen we het trapeziumoppervlak:
Omdat het vat wordt gevormd door vier trapezoïden, moeten we het gevonden gebied met vier vermenigvuldigen.
Nu moeten we de basis van de vaas berekenen, die wordt gevormd door een vierkant van 19 cm.
Als we de berekende oppervlakten optellen, komen we uit op de totale oppervlakte aan te bouwen hout.
Het gebied moet echter worden weergegeven in vierkante meters.
Daarom was er, zonder rekening te houden met de dikte van het hout, 0,3121 m nodig2 van materiaal om de vaas te vervaardigen.
Zie ook: Vierkant gebied
vraag 12
Om de berekening te vergemakkelijken van het aantal mensen dat aan openbare evenementen deelneemt, wordt algemeen aangenomen dat een vierkante meter wordt ingenomen door vier personen.
Om de verjaardag van een stad te vieren, huurde het stadsbestuur een band in om te spelen op het plein in het centrum, dat een oppervlakte heeft van 4000 m2. Hoeveel mensen woonden het evenement ongeveer bij, wetende dat het plein vol zat?
a) 16 duizend mensen.
b) 32 duizend mensen.
c) 12 duizend mensen.
d) 40 duizend mensen.
Correct alternatief: a) 16 duizend mensen.
Een vierkant heeft vier gelijke zijden en de oppervlakte wordt berekend met de formule: A = L x L.
indien in 1 m2 het wordt ingenomen door vier mensen, dus 4 keer de totale oppervlakte van het plein geeft ons de schatting van het aantal mensen dat het evenement heeft bijgewoond.
Zo namen 16 duizend mensen deel aan het evenement gepromoot door het stadhuis.
Zie voor meer informatie ook:
- Vlakke figuurgebieden
- Geometrische vormen
- Stelling van Pythagoras - Oefeningen