Numerieke sets: natuurlijk, geheel getal, rationeel, irrationeel en reëel

U numerieke sets ze brengen verschillende sets samen waarvan de elementen getallen zijn. Ze worden gevormd door natuurlijke, gehele, rationele, irrationele en reële getallen. De tak van de wiskunde die numerieke verzamelingen bestudeert, is de verzamelingenleer.

Bekijk hieronder de kenmerken van elk van hen, zoals concept, symbool en subsets.

Set van natuurlijke getallen (N)

de set van natuurlijke cijfers wordt vertegenwoordigd door nee. Het verzamelt de getallen die we gebruiken om te tellen (inclusief nul) en is oneindig.

Subsets van natuurlijke getallen

• N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} of N* = N – {0}: verzamelingen natuurlijke getallen die niet nul zijn, dat wil zeggen zonder nul.
• nee_P = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, waarbij n ∈ N: verzameling van even natuurlijke getallen.
• nee_ik = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, waarbij n ∈ N: verzameling oneven natuurlijke getallen.
• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: verzameling natuurlijke priemgetallen.

Set gehele getallen (Z)

de set van hele getallen wordt vertegenwoordigd door

Z. Het brengt alle elementen van de natuurlijke getallen (N) en hun tegenpolen samen. Er wordt dus geconcludeerd dat N een deelverzameling is van Z (N ⊂ Z):

Subsets van gehele getallen

• Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} of Z* = Z – {0}: verzamelingen van gehele getallen die niet nul zijn, dwz zonder de nul.
• Z₊ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: verzameling gehele en niet-negatieve getallen. Merk op dat Z₊ = Nee.
• Z^*₊= {1, 2, 3, 4, 5, ...}: verzameling positieve gehele getallen zonder nul.
• Z _– = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: verzameling niet-positieve gehele getallen.
• Z^*_–= {..., –5, –4, –3, –2, –1}: verzameling negatieve gehele getallen zonder nul.

Reeks rationele getallen (Q)

de set van rationele nummers wordt vertegenwoordigd door Vraag. Verzamelt alle getallen die kunnen worden geschreven in de vorm p/q, zijnde P en wat gehele getallen en q≠0.

Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3,..., ±2, ±2/3, ±2/5,..., ±3, ±3/2, ±3/ 4, ...}

Merk op dat elk geheel getal ook een rationaal getal is. Dus Z is een deelverzameling van Q.

Subsets van rationele getallen

• V* = deelverzameling van de niet-nul rationale getallen, gevormd door de rationale getallen zonder de nul.
• Vraag₊ = subset van niet-negatieve rationale getallen, gevormd door positieve rationale getallen en nul.
• Vraag^*₊ = deelverzameling van de positieve rationale getallen, gevormd door de positieve rationale getallen, zonder de nul.
• Vraag_– = deelverzameling van niet-positieve rationale getallen, gevormd door negatieve rationale getallen en nul.
• V*_– = subset van negatieve rationale getallen, gevormde negatieve rationale getallen, zonder nul.

Set van irrationele getallen (I)

de set van irrationele nummers wordt vertegenwoordigd door ik. Verzamelt onnauwkeurige decimale getallen met een oneindige, niet-periodieke weergave, bijvoorbeeld: 3.141592... of 1.203040...

Het is belangrijk op te merken dat de periodieke tienden het zijn rationele en geen irrationele getallen. Het zijn decimale getallen die na de komma worden herhaald, bijvoorbeeld: 1.3333333...

Set van reële getallen (R)

de set van echte getallen wordt vertegenwoordigd door R. Deze verzameling wordt gevormd door de rationale (Q) en irrationele (I) getallen. We hebben dus dat R = Q I. Verder zijn N, Z, Q en I deelverzamelingen van R.

Maar merk op dat als een reëel getal rationaal is, het ook niet irrationeel kan zijn. Evenzo, als hij irrationeel is, is hij niet rationeel.

Subsets van reële getallen

• R^*= {x ∈ R│x ≠ 0}: verzameling van niet-nul reële getallen.
• R₊= {x ∈ R│x ≥ 0}: verzameling niet-negatieve reële getallen.
• R^*₊= {x ∈ R│x > 0}: verzameling positieve reële getallen.
• R_– = {x ∈ R│x ≤ 0}: verzameling niet-positieve reële getallen.
• R^*_– = {x ∈ R│x

Lees ook over Cijfers: wat ze zijn, geschiedenis en sets.

Numerieke bereiken

Er is zelfs een subset met betrekking tot reële getallen die intervallen worden genoemd. worden De en B reële getallen en met reële intervallen:

extreem open bereik: ]a, b[ = {x ∈ R│a

Gesloten bereik van uitersten: [a, b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b}

Open bereik naar rechts (of links gesloten) van uitersten: [a, b[ = {x ∈ R│a ≤ x

opengelaten bereik (of rechts gesloten) van uitersten: ]a, b] = {x ∈ R│a

Eigenschappen van numerieke sets

Diagram van numerieke sets

Om studies over numerieke sets te vergemakkelijken, zijn hieronder enkele van hun eigenschappen:

• De verzameling natuurlijke getallen (N) is een deelverzameling van de gehele getallen: Z (N ⊂ Z).
• De verzameling gehele getallen (Z) is een deelverzameling van de rationale getallen: (Z ⊂ Q).
• De verzameling rationale getallen (Q) is een deelverzameling van de reële getallen (R).
• De verzamelingen natuurlijke (N), gehele getallen (Z), rationale (Q) en irrationele (I) getallen zijn deelverzamelingen van de reële getallen (R).

Toelatingsexamen Oefeningen met feedback

1. (UFOP-MG) Wat betreft de getallen a = 0,49999... en b = 0,5, is het correct om te stellen:

a) b = a + 0,011111
b) a = b
ç) De is irrationeel en B het is rationeel
geeft

Zie antwoord

Alternatief b: a = b

2. (UEL-PR) Let op de volgende nummers:

IK. 2,212121...
II. 3,212223...
III. π/5
IV. 3,1416
V. √– 4

Vink het alternatief aan dat de irrationele getallen identificeert:

a) I en II.
b) I en IV.
c) II en III.
d) II en V.
e) III en V.

Zie antwoord

Alternatief c: II en III.

3. (Cefet-CE) De set is unitair:

a) {x ∈ Z│x b) {x ∈ Z│x² > 0}
c) {x ∈ R│x² = 1}
d) {x ∈ Q│x² e) {x ∈ N│1

Zie antwoord

Alternatief e: {x ∈ N│1

Lees ook:

• verzamelingen theorie
• Complexe getallen
• Bewerkingen met sets
• Oefeningen op sets
• Numerieke Set Oefeningen
• Oefeningen op complexe getallen