PA en PG: samenvatting, formules en oefeningen

DE rekenkundige progressie - PA is een reeks waarden die een constant verschil heeft tussen opeenvolgende getallen.

DE geometrische progressie - PG presenteert getallen met hetzelfde quotiënt bij het delen van twee opeenvolgende termen.

Terwijl in de rekenkundige progressie de termen worden verkregen door het verschil dat gemeenschappelijk is met de voorganger op te tellen, zijn de termen van a geometrische progressies worden gevonden door de verhouding te vermenigvuldigen met het laatste getal in de reeks, waardoor de term. wordt verkregen opvolger.

Hieronder vindt u een samenvatting van de twee soorten progressies.

Rekenkundige progressie (AP)

Een rekenkundige progressie is een reeks gevormd door termen die van elkaar verschillen door een constante waarde, die ratio wordt genoemd, berekend door:

Waar,

r is de reden voor de BP;
De₂ is de tweede termijn;
De₁ is de eerste termijn.

Daarom kunnen de voorwaarden van een rekenkundige progressie als volgt worden geschreven:

Merk op dat in een PA van Nee termen de formule van de algemene term (de_Nee) van de reeks is:

De_Nee = de₁ + (n – 1) r

Enkele specifieke gevallen zijn: een 3-term AP wordt weergegeven door (x - r, x, x + r) en een 5-term AP heeft zijn componenten weergegeven door (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).

Soorten PA

Volgens de verhoudingswaarde worden rekenkundige progressies ingedeeld in 3 typen:

1. Constante: wanneer de verhouding gelijk is aan nul en de BP-termen gelijk zijn.

Voorbeeld: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), waarbij r = 0

2. Groeien: wanneer de verhouding groter is dan nul en een term uit de tweede groter is dan de vorige;

Voorbeeld: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), waarbij r = 2

3. aflopend: wanneer de verhouding kleiner is dan nul en een term uit de tweede is kleiner dan de vorige.

Voorbeeld: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), waarbij r = - 2

Rekenkundige progressies kunnen nog steeds worden ingedeeld in: eindig, wanneer ze een bepaald aantal termen hebben, en eindeloos, dat wil zeggen, met oneindige termen.

Som van termen van een PA

De som van de termen van een rekenkundige reeks wordt berekend met de formule:

Waar, Nee is het aantal termen in de rij, De₁ is de eerste term en De_Nee is de nde term. De formule is handig voor het oplossen van vragen waarbij de eerste en de laatste term worden gegeven.

Als een probleem de eerste term en de BP-reden heeft, kun je de formule gebruiken:

Deze twee formules worden gebruikt om de termen van een eindige BP op te tellen.

Gemiddelde looptijd van de PA

Om de gemiddelde of centrale term van een BP met een oneven aantal termen te bepalen, berekenen we het rekenkundig gemiddelde met de eerste en laatste term (een₁ en de_Nee):

De gemiddelde term tussen drie opeenvolgende nummers van een PA komt overeen met het rekenkundig gemiddelde van de voorganger en opvolger.

Opgelost voorbeeld

Bepaal op basis van de PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) de verhouding, de gemiddelde term en de som van de termen.

1. PA reden

2. middellange termijn

3. som van termen

Leer meer over rekenkundige progressie.

Geometrische progressie (PG)

Een geometrische progressie wordt gevormd wanneer een rij een vermenigvuldigingsfactor heeft die het resultaat is van het delen van twee opeenvolgende termen, een gemeenschappelijke verhouding genoemd, die wordt berekend door:

Waar,

wat is de reden voor PG;
De₂ is de tweede termijn;
De₁ is de eerste termijn.

Een geometrische progressie van Nee termen kunnen als volgt worden weergegeven:

Wezen De₁ de eerste term, de algemene term van PG wordt berekend door De₁.q^(Nee-1).

PG-typen

Volgens de waarde van de verhouding (q), kunnen we de geometrische progressies in 4 typen indelen:

1. Groeien: de verhouding is altijd positief (q > 0) en de termen nemen toe;

Voorbeeld: PG: (3, 9, 27, 81, ...), waarbij q = 3.

2. aflopend: de verhouding is altijd positief (q > 0), niet-nul (0), en de termen nemen af;

Voorbeeld: PG: (-3, -9, -27, -81, ...), waarbij q = 3

3. oscillerend: de reden is negatief (q

Voorbeeld: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96, …), waarbij q = - 2

4. Constante: de verhouding is altijd gelijk aan 1 en de termen hebben dezelfde waarde.

Voorbeeld: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), waarbij q = 1

Som van termen van een PG

De som van termen van een geometrische progressie wordt berekend met de formule:

Wezen De₁ de eerste termijn, wat de gemeenschappelijke reden en Nee het aantal termen.

Als de PG-ratio kleiner is dan 1, dan gebruiken we de volgende formule om de som van termen te bepalen.

Deze formules worden gebruikt voor een eindige PG. Als de gevraagde som een ​​oneindige PG is, is de gebruikte formule:

Gemiddelde looptijd van PG

Om de gemiddelde of centrale term van een PG met een oneven aantal termen te bepalen, berekenen we het meetkundig gemiddelde met de eerste en laatste term (een₁ en de_Nee):

Opgelost voorbeeld

Gegeven PG (1, 3, 9, 27 en 81) bepaal je de verhouding, de gemiddelde looptijd en de som van de termen.

1. PG reden:

2. middellange termijn

3. som van termen

Leer meer over geometrische progressie.

Samenvatting van PA- en PG-formules

rekenkundige progressie	Geometrische progressie
Reden
algemene term
middellange termijn
eindige som
oneindige som

Leer meer over nummerreeksen.

Oefeningen op PA en PG

vraag 1

Wat is de 16e term van de reeks die begint met het getal 3 en een BP-ratio heeft die gelijk is aan 4?

a) 36
b) 52
c) 44
d) 63

Zie antwoord

Correct alternatief: d) 63.

Omdat de verhouding van een PA constant is, kunnen we de tweede term in de reeks vinden door de verhouding bij het eerste getal op te tellen.

De₂ = de₁ + r

De₂ = 3 + 4

De₂ = 7

Daarom kunnen we zeggen dat deze reeks wordt gevormd door (3, 7, 11, 15, 19, 23, ...)

De 16e term kan worden berekend met de algemene term-formule.

De_Nee = de₁ + (n - 1). r

De₁₆ = 3 + (16 – 1). 4

De₁₆ = 3 + 15.4

De₁₆ = 3 + 60

De₁₆ = 63

Het antwoord op de vraag is dus 63.

vraag 2

Wat is de verhouding van een zes-term AP waarvan de som van de eerste drie getallen in de reeks gelijk is aan 12 en de laatste twee gelijk is aan -34?

a) 7
b) - 6
c) – 5
d) 5

Zie antwoord

Correct alternatief: b) – 6.

De algemene formule voor de voorwaarden van een rekenkundige reeks is₁, (een₁ + r), (a₁ + 2r),..., {a₁ + (n-1) r}. Daarom kan de som van de eerste drie termen als volgt worden geschreven:

De₁ + (de₁ + r) + (a₁ + 2r) = 12
3e₁ + 3r = 12
3e₁ = 12 - 3r
De₁ = (12 - 3r)/3
De₁ = 4 - r

En de som van de laatste twee termen is:

(De₁ + 4r) + (a₁ + 5r) = – 34
2e₁ + 9r = – 34

Nu vervangen we de₁ door 4 – r.

2(4 – r) + 9r = – 34
8 – 2r + 9r = – 34
7r = – 34 – 8
7r = – 42
r = – 42/7
r = – 6

Daarom is de PG-ratio - 6.

vraag 3

Als de derde term van een huisarts 28 is en de vierde term 56 is, wat zijn dan de eerste 5 termen van deze geometrische progressie?

a) 6, 12, 28, 56, 104
b) 7, 18, 28, 56, 92
c) 5, 9, 28, 56, 119
d) 7, 14, 28, 56, 112

Zie antwoord

Correct alternatief: d) 7, 14, 28, 56, 112

Eerst moeten we de verhouding van deze PG berekenen. Hiervoor gebruiken we de formule:

De₄ = de₃. wat
56 = 28. wat
56 / 28 = q
q = 2

Nu berekenen we de eerste 5 termen. We beginnen met de₁ met behulp van de formule van de algemene term.

De_Nee = de₁. wat^(n-1)
De₃ = de₁ . wat^(3-1)
28 = de₁. 2²
De₁ = 28/ 4 = 7

De overige termen kunnen worden berekend door de antecedent term te vermenigvuldigen met de verhouding.

De₂ = de₁.q
De₂ = 7. 2
De₂ = 14

De₅ = de₄. wat
De₅ = 56. 2
De₅ = 112

Daarom zijn de eerste 5 termen van PG:

1e termijn: 7
2e termijn: 14
3e termijn: 28
4e termijn: 56
5e termijn: 112

Zie ook andere oefeningen om te blijven oefenen:

• Oefeningen op rekenkundige progressie
• Oefeningen over geometrische progressie