O kleinste gemene veelvoud, aangeduid met MMC, van twee of meer positieve gehele getallen is de kleinste niet-nul getal dat voorkomt in de lijst met veelvouden van deze twee of meer nummers tegelijk.
Er is een methode die de berekening van het kleinste gemene veelvoud van een getal vergemakkelijkt en om deze te gebruiken, is het noodzakelijk om de ontleding van priemfactoren, formeel bekend als de fundamentele stelling van de rekenkunde. Een dergelijke stelling verzekert ons dat elk samengesteld getal kan worden geschreven als een product van priemfactoren.
Lees ook: Ken jij de eigenschappen van vermenigvuldigen?
gemeenschappelijk veelvoud
Als we twee of meer positieve gehele getallen hebben, is het mogelijk om veelvouden van die getallen op te sommen. Wanneer we deze lijst uitvoeren, zullen we merken dat er meer dan één veelvoud gemeen is, dat wil zeggen, veelvouden die tegelijkertijd verschijnen in alle lijsten van deze gegeven nummers. Zie het voorbeeld.
Voorbeeld - Lijst van de 10 eerste veelvouden van de nummers 2, 8, 10.
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...}
M (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, ...}
M (10) = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, ...}
We kunnen meer dan één gemeenschappelijk veelvoud tussen de getallen zien. Merk op dat we tussen M(2) en M (8) de getallen 8, 16, 24... gemeen hebben; tussen M (2) en M (10) hebben we de getallen 10, 20, 30,...; tussen M (8) en M (10) hebben we de nummers 40, 80,... Deze nummers worden genoemd gemeenschappelijke veelvouden.
Hoe de MMC bepalen?
Om de MMC te bepalen, moeten we eerst enkele veelvouden van de nummers in kwestie opsommen. Het eerste veelvoud dat in de lijst van de twee of meer getallen in kwestie verschijnt, wordt het kleinste gemene veelvoud genoemd. Het wordt het minimum genoemd omdat het de kleinste is en altijd overeenkomt met het eerste getal dat de twee of meer getallen gemeen hebben.
Voorbeeld - Om het kleinste gemene veelvoud tussen de getallen 4 en 8 te bepalen, laten we de veelvouden van de twee getallen opsommen.
M (4) = {4, 8,12,16, 20, ...} en M (8) = {8, 16, 24,32,40, ...}
Merk nu op dat het kleinste veelvoud dat in beide lijsten voorkomt, het getal 8. is. Daarom is de MMC (8,4) = 8
realiseer dat deze methode is niet praktischwanneer de cijfers te groot zijn. Stel je bijvoorbeeld voor dat je met deze methode de MMC tussen de nummers 2 en 121 bepaalt. We zouden de veelvouden van 2 moeten opsommen totdat we dicht bij 121 komen.
Met dit in gedachten kunnen we de ontleding van priemfactoren, dat wil zeggen, we moeten opeenvolgende delingen uitvoeren door: priemgetallen. Zie het volgende voorbeeld.
Om de MMC (121,2) te berekenen, zullen we het getal in eerste instantie ontleden in priemfactoren en die factoren vervolgens vermenigvuldigen. Het resultaat van de vermenigvuldiging is de MMC.
Dus de MMC (121,2) = 2 ·11 ·11 = 242.
Voorbeeld - Bepaal de MMC (8.4) met behulp van de priemfactorontleding.
Vandaar dat de MMC (8,4) = 2 · 2 ·2 = 8, zoals blijkt uit de eerste methode.
MMC-eigenschappen
Bekijk hieronder de eigenschappen van de MMC.
Eigendom 1
Het product van de grootste gemene deler met het kleinste gemene veelvoud van twee getallen De en B is gelijk aan de modulus van het product van deze getallen.
MDC (a, b) · MMC (a, b) = |a · b|
Voorbeeld - We weten dat MDC (8,4) = 4 en MMC (8,4) = 8. In feite,
MDC (8,4) · MMC (8,4) = | 8 · 4 |.
Eigendom 2
Gemeenschappelijke veelvouden van twee of meer getallen zijn MMC-veelvouden van die getallen.
Voorbeeld - We zagen dat M (4) = {4, 8,12,16, 20, ...} en M (8) = {8, 16, 24,32,40, ...} en dat de MMC (8,4) = 8. De eigenschap vertelt ons dat de veelvouden van 8 en 4 veelvouden zijn van 8, wat in dit geval toevallig het kleinste gemene veelvoud is.
Eigenschap 3
De MMC tussen twee priemgetallen van elkaar is gelijk aan de vermenigvuldiging daartussen.
OPMERKING: Twee getallen zijn priemgetallen voor elkaar als ze geen gemeenschappelijke deler hebben.
Voorbeeld - Zoek het kleinste gemene veelvoud tussen 5 en 21.
Omdat de getallen geen gemeenschappelijke deler hebben, zijn ze neven van elkaar, het kleinste veelvoud daartussen is het product ertussen, dus MMC (21.5) = 21 · 5 = 105. In feite is dit waar, zoals we kunnen zien aan de ontleding in priemfactoren.
MMC (21,5) = 3 ·5 ·7 = 105
Lees ook: Grootste gemene deler: wat is het en waarvoor dient het?
MMC en breuken
O kleinste gemene veelvoud wordt ook gebruikt om de bewerkingen uit te voeren van: optellen en aftrekken van breuken. Voor toevoegen of aftrekken twee of meer breuken, bereken eerst de MMC tussen de noemers, deel die MMC vervolgens door de noemer en vermenigvuldig het resultaat met de teller. Zie de voorbeelden.
Voorbeeld – Bepaal de som van de volgende breuk 4 + 5.
7 3
Laten we eerst de MMC (7,3) bepalen. Hiervoor kunnen we de eigendom 3, dus MMC (7,3) = 21.
Dus, 4 + 5 = 56 :7 = 8.
7 3 21:7 3
Dezelfde procedure is geldig voor wanneer we een aftrekking van breuken hebben, alleen let alleen op het teken tussen de breuken.
Lees ook: Bewerkingen met breuken: leer hoe u het doet
Oefening opgelost
Vraag 1 – (UPE) Rodrigo keek naar het knipperlicht op de kerstversiering van zijn huis. Het is samengesteld uit gloeilampen in geel, blauw, groen en rood. Rodrigo merkte op dat de gele lampen elke 45 seconden oplichten, de groene lampen elke 60 seconden, de, blauw, elke 27 seconden, en de rode lichten alleen op als de lampen van de andere kleuren tegelijkertijd branden tijd. Hoeveel minuten branden de rode lampjes?
De) 6
B) 9
ç) 12
d) 15
en) 18
Oplossing
Omdat de lampen alleen branden als ze allemaal aan staan Dezelfde tijd, dat wil zeggen, we moeten de gemeenschappelijke tijd van activering van de lampen vinden. Bereken dus gewoon de MMC tussen 60, 45 en 27.
Vandaar dat de MMC (60, 45, 27) = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 5 = 540 seconden. Aangezien de oefening geïnteresseerd is in het tijdsinterval in minuten, deelt u de 540 gewoon door 60.
540: 60 = 9 minuten.
alternatief b.
