Prismagebied: berekenen, voorbeelden, oefeningen

Prisma's zijn driedimensionale figuren gevormd door twee congruente en parallelle basen base, de basen worden op hun beurt gevormd door convexe veelhoeken. De andere vlakken die zijvlakken worden genoemd, worden gevormd door parallellogrammen. Om het gebied van een prisma te bepalen, is het noodzakelijk om zijn planning en bereken vervolgens het gebied van de platte figuur.

Lees ook: Verschillen tussen platte en ruimtelijke figuren

Een prisma plannen

Het idee van planning is om een ​​driedimensionale figuur om te zetten in een tweedimensionale figuur. In de praktijk zou dit het equivalent zijn van over de randen van het prisma snijden. Hieronder ziet u een voorbeeld van het plannen van een driehoekig prisma.

Hetzelfde proces kan worden toegepast voor elk prismaMerk echter op dat naarmate we het aantal zijden van de basispolygonen vergroten, de taak steeds moeilijker wordt. Om deze reden zullen we generalisaties maken op basis van de planning hiervan veelhoek.

Berekening van het zijoppervlak

Als we het beeld van het driehoekige prisma observeren, zien we dat de parallellogrammen ABFC, ABFD en ACDE de

zijvlakken. Merk op dat de zijvlakken van een prisma zijn altijd parallellogrammen ongeacht het aantal zijden van de basispolygonen, dit gebeurt omdat ze evenwijdig en congruent zijn.

Als we naar de driehoekige prismafiguur kijken, zien we ook dat we drie zijvlakken hebben. Dit komt door het aantal zijden van de basispolygoon, dat wil zeggen, als de prismabases een vierhoek zijn, we hebben vier zijvlakken, als de basis een vijfhoek is, hebben we vijf zijvlakken, enzovoort. Dus: het aantal zijden van de basispolygoon beïnvloedt het aantal zijvlakken van het prisma.

Daarom, de zijgebied (A_L) van elk prisma wordt gegeven door het gebied van een zijvlak vermenigvuldigd met het aantal zijvlakken, dat wil zeggen, het is het gebied van het parallellogram vermenigvuldigd met het aantal zijden van het gezicht.

DE_L = (basis · hoogte) · aantal zijden van gezicht

• Voorbeeld

Bereken het zijoppervlak van een regelmatig hexagonaal prisma met een basisrand gelijk aan 3 cm en een hoogte gelijk aan 11 cm.

Het betreffende prisma wordt weergegeven door:

Het zijgebied wordt dan berekend door het gebied van de rechthoek maal het aantal zijden van de basispolygoon, dat is 6, dus:

DE_L = (basis · hoogte) · aantal zijden van gezicht

DE_L = (3 · 11) · 6

DE_L = 198 cm²

Berekening van het basisoppervlak

Prisma's kunnen verschillende vormen hebben.

DE basisgebied (DE_B) van een prisma hangt af van de veelhoek waaruit het bestaat. Omdat we in een prisma twee evenwijdige en congruente vlakken hebben, wordt het basisgebied gegeven door de som van de gebieden van de parallelle veelhoeken, dat wil zeggen tweemaal de oppervlakte van de veelhoek.

DE_B = 2 · veelhoekgebied

Lees ook:Vlakke figuurgebieden

• Voorbeeld

Bereken het basisoppervlak van een regelmatig hexagonaal prisma met een basisrand gelijk aan 3 cm en een hoogte gelijk aan 11 cm.

De basis van dit prisma is een regelmatige zeshoek, en deze, van bovenaf gezien, ziet er als volgt uit:

Merk op dat de driehoeken gevormd binnen de zeshoek zijn gelijkzijdig, dus het gebied van de zeshoek wordt gegeven door zes keer de gelijkzijdige driehoek gebied.

Merk echter op dat we in het prisma twee zeshoeken hebben, dus het basisgebied is tweemaal het gebied van de veelhoek.

Berekening van de totale oppervlakte

DE totale oppervlakte (A_T) van een prisma wordt gegeven door de som van het laterale gebied (DE_L) met het basisgebied (DE_B).

DE_T = A_L + A_B

• Voorbeeld

Bereken de totale oppervlakte van een regelmatig hexagonaal prisma met een basisrand gelijk aan 3 cm en een hoogte gelijk aan 11 cm.

Uit de vorige voorbeelden hebben we dat A_L = 198 cm² en de_B = 27√3 cm². Daarom wordt de totale oppervlakte gegeven door:

Oefeningen opgelost

vraag 1 – Een schuur heeft de vorm van een prisma dat is gebaseerd op een trapeze, zoals weergegeven in de afbeelding.

U wilt deze schuur schilderen en het is bekend dat de prijs van verf 20 reais per vierkante meter is. Hoeveel kost het om deze schuur te schilderen? (Gegeven: √2 = 1,4)

Oplossing

Laten we eerst het schuurgebied bepalen. De basis is een trapeze, dus:

Het basisgebied is dus:

DE_B = 2 ·A_trapeze

DE_B = 2 ·10

DE_B = 20 m²

Het zijgebied in rood is een rechthoek en we hebben de onderkant, dus dit gebied is:

DE_V = 2 · 4· 14

DE_V= 112 m²

Het gebied in blauw is ook een rechthoek, maar we hebben de basis niet. De... gebruiken de stelling van Pythagoras in de driehoek gevormd door het trapezium hebben we:

X² = 2² + 2²

X² = 8

x = 2√2

Dus het rechthoekgebied in blauw is:

DE_DE = 2 ·14·2√2

DE_DE = 54√2 m²

Daarom is het zijoppervlak van het prisma gelijk aan:

DE_L = 112 + 54√2

DE_L = 112 + 75,6

DE_L = 187,6 m²

En dus is de totale oppervlakte van dit prisma:

DE_T= 20 + 187,6

DE_T= 207,6 m²

Aangezien de prijs van verf 20 reais per vierkante meter is, is het bedrag dat wordt besteed aan het schilderen van de schuur:

20 ·207,6 = 4.152 reai

Antwoord: Het bedrag dat is uitgegeven om de schuur te schilderen is R$ 4.152,00

door Robson Luiz
Wiskundeleraar

Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calculo-area-um-prisma.htm