U polygonen zijn geometrische figuren bidimaandelijks gevormd door rechte segmenten. Tot de elementen van veelhoeken behoren hoekpunten, zijden en diagonalen. Bij diagonalen van een veelhoek zijn lijnsegmenten die twee van zijn niet-opeenvolgende hoekpunten verbinden. De volgende afbeeldingen tonen de diagonalen van sommige polygonen in het zwart:
Merk op dat de aantaldiagonalen neemt toe wanneer we ook het aantal zijden van de vergroten veelhoek. De driehoek heeft diagonalen nul, het vierkant heeft er twee, de vijfhoek heeft er vijf en de zeshoek heeft er negen.
Zoek een relatie tussen de aantal in diagonalen op een veelhoek en het aantal zijden is geen gemakkelijke taak, omdat het niet lijkt te bestaan. Deze relatie bestaat echter en hangt af van het aantal diagonalen dat vertrekt van a vrijgezelhoekpunt van de veelhoek.
Diagonalen beginnend bij een enkel hoekpunt
Zie in de afbeelding hieronder het bedrag van diagonalen beginnend bij hoekpunt A van de polygonen gemarkeerd:
Van het vierkant komt een diagonaal van hoekpunt A. Van de vijfhoek twee, en van de zeshoek drie diagonalen. De volgende afbeelding toont de
diagonalen beginnend bij hoekpunt A van een tienhoek.
Merk op dat deze geometrische figuur tien zijden heeft en van elk hoekpunt zijn er zeven diagonalen. Zie hieronder een tabel met het aantal zijden van de figuur en het aantal diagonalen vanaf a dezelfdehoekpunt (dv):
Merk op dat het aantal diagonalenweggaan op een dezelfdehoekpunt is altijd gelijk aan het aantal zijden van de veelhoek minus drie eenheden. Dus als de zijde van de veelhoek wordt weergegeven door de letter n, hebben we:
dv = n – 3
Totaal aantal diagonalen in een veelhoek
O totaal aantaldiagonalen (d) van de veelhoek kan worden verkregen uit de volgende uitdrukking:
d = n (n - 3)
2
Met andere woorden, het aantal diagonalen van een veelhoek is altijd het product van het aantal zijden en het aantal diagonalen vertrekkend van hetzelfde hoekpunt gedeeld door twee. Deze relatie geldt voor iedereen convexe veelhoek, dat wil zeggen, het heeft geen uitsparingen.
Voorbeelden
1e voorbeeld – Wat is het aantal diagonalen van een veelhoek met 40 zijden? Hoeveel diagonalen vertrek van elk hoekpunt van deze veelhoek?
Oplossing: Het is niet nodig om de figuur te tekenen om dit soort vragen te beantwoorden. Ga als volgt te werk om het resultaat van de eerste vraag te vinden:
d = n (n - 3)
2
d = 40(40 – 3)
2
d = 40(37)
2
d = 1480
2
d = 740
van hetzelfde hoekpunt:
dv = n – 3
dv = 40 – 3
dv = 37
Dus er zijn 740 diagonalen in totaal en 37 diagonalen vanaf hetzelfde hoekpunt.
2ºVoorbeeld – Wat is het aantal zijden van een veelhoek met 25 diagonalen beginnend bij elk hoekpunt?
Oplossing:
dv = n – 3
25 = n – 3
n = 25 + 3
n = 28
Er zijn 28 kanten.
Door Luiz Paulo Moreira
Afgestudeerd in wiskunde
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-diagonais-dos-poligonos.htm
