Oefeningen met complexe getallen: lijst met opgeloste vragen en feedback

U complexe getallen het mogelijk maken om wiskundige problemen op te lossen die geen oplossingen hebben in de verzameling van echte getallen.

In een complex getal geschreven als $\dpi{120} z = a+ bi$ , we zeggen dat $\dpi{120} naar$ is het echte deel, $\dpi{120} b$ is het denkbeeldige deel en $\dpi{120} ik =\sqrt{-1}$ het is de denkbeeldige eenheid.

Presteren bewerkingen met complexe getallen, zijn er enkele uitdrukkingen die berekeningen gemakkelijker maken. Overwegen $\dpi{120} z_1 = a+ bi$ en $\dpi{120} z_2 = c + di$ .

Optellingsuitdrukking tussen complexe getallen:

$\dpi{120} z_1 + z_2= (a+c)+(b + d) i$

Uitdrukking van aftrekken tussen complexe getallen:

$\dpi{120} z_1 - z_2= (a-c)+(b - d) i$

Uitdrukking van vermenigvuldiging tussen complexe getallen:

$\dpi{120} z_1 \cdot z_2= (ac - db)+(ad +cb) i$

Uitdrukking van deling tussen complexe getallen:

$\dpi{120} \frac{z_1}{z_2}= \frac{(ac + bd)}{c^2 + d^2} + \frac{(bc - ad)}{c^2 + d^2 }ik$

Hieronder is een lijst van vragen opgelost met oefeningen op complexe getallen. Leer elk van de concepten met deze getallen te gebruiken!

Inhoudsopgave

Lijst met oefeningen op complexe getallen
Oplossing van vraag 1
Oplossing van vraag 2
Oplossing van vraag 3
Oplossing van vraag 4
Oplossing van vraag 5
Oplossing van vraag 6
Oplossing van vraag 7
Oplossing van vraag 8

Lijst met oefeningen op complexe getallen

instagram story viewer

Vraag 1. Gezien de complexe getallen $\dpi{120} z_1 = 2 + 3i$ , $\dpi{120} z_2 = 2 - 5i$ en $\dpi{120} z_3 = -1 + 4i$ bepaal de waarde van $\dpi{120} A$ , Wanneer $\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$ .

Vraag 2. Vind de waarden van $\dpi{120} x$ en $\dpi{120} ja$ zoals dat $\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Vraag 3. Gezien de complexe getallen $\dpi{120} z_1 = -2 - 5i$ en $\dpi{120} z_2 = 1 + 3i$ , bepaal de waarde van $\dpi{120} A\cdot B$ , Wanneer $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ en $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

Vraag 4. Bereken de waarde van $\dpi{120} p$ en $\dpi{120} q$ waarvoor $\dpi{120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Wanneer $\dpi{120} z_1 = 3 - pi$ en $\dpi{120} z_2 = 1 + 2i$ .

Vraag 5. Bepaal de waarde van $\dpi{120} naar$ waarvoor $\dpi{120} (a + 3i): (3 + 2i)$ een zuiver denkbeeldig getal zijn.

Vraag 6. Bereken de volgende denkbeeldige eenheidsmachten $\dpi{120} i$ :

De) $\dpi{120} i^{16}$
B) $\dpi{120} i^{200}$
ç) $\dpi{120} i^{829}$
d) $\dpi{120} i^{11475}$

Vraag 7. Vind de oplossing van de vergelijking $\dpi{120} x^2 + 9 = 0$ in de verzameling complexe getallen.

Vraag 8. Bepaal de oplossing van de vergelijking $\dpi{120} x^2 + x + 1 = 0$ in de verzameling complexe getallen.

Oplossing van vraag 1

We hebben $\dpi{120} z_1 = 2 + 3i$ en $\dpi{120} z_2 = 2 - 5i$ en $\dpi{120} z_3 = -1 + 4i$ en we willen de waarde bepalen van $\dpi{120} A$ , Wanneer $\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$ .

Laten we eerst berekenen $\dpi{120} 4z_3$ en $\dpi{120} 3z_1$ , afzonderlijk:

$\dpi{120} 4z_3 = 4.(-1 + 4i) = -4 + 16i$

$\dpi{120} 3z_1 = 3.(2 + 3i) = 6 + 9i$

Laten we nu berekenen $\dpi{120} A$ :

$\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$

$\dpi{120} \Rechterpijl A= (2 - 5i) +(-4+16i) -(6+9i)$

$\dpi{120} \Rightarrow A= (2-4-6) + (-5+16-9)i$

$\dpi{120} \Rechterpijl A= -8 + 2i$

Oplossing van vraag 2

We willen x en y vinden zodat $\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Door de som tussen twee complexe getallen uit te drukken, moeten we:

$\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$

$\dpi{120} \Pijl naar rechts (2 + y) + (x-5)i = 3-i$

Dus we moeten hebben $\dpi{120} (2 + y) = 3$ en $\dpi{120} (x-5)i=-i$ . Laten we deze twee vergelijkingen oplossen om x en y te vinden.

$\dpi{120} (2 + y) = 3\Pijl naar rechts y = 3-2\Pijl naar rechts y =1$

$\dpi{120} (x-5)i=-i\Rechterpijl x- 5 = -1 \Rechtspijl x = -1 + 5 \Rechtspijl x = 4$

Oplossing van vraag 3

We hebben $\dpi{120} z_1 = -2 - 5i$ en $\dpi{120} z_2 = 1 + 3i$ en we willen de waarde bepalen van $\dpi{120} A\cdot B$ , Wanneer $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ en $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

Eerst berekenen we $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ .

$\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$

$\dpi{120} \Rechterpijl A = (-2 - 5i)\cdot (-2+5i)$

Door de uitdrukking van de vermenigvuldiging tussen twee complexe getallen, moeten we:

$\dpi{120} A =[(-2)\cdot (-2) -(-5)\cdot 5 ]+[(-2)\cdot 5 + (-5)\cdot (-2)]$

$\dpi{120} \Rechterpijl A =[4 +25]+[-10 +10]$

$\dpi{120} \Rechterpijl A =29$

Laten we nu berekenen $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

$\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$

$\dpi{120} \Rechts Pijl B = (1 + 3i)\cdot (1-3i)$

$\dpi{120} \Rechts Pijl B = [1\cdot 1 - 3\cdot (-3)] +[1\cdot (-3)+1\cdot 3]i$

$\dpi{120} \Rechts Pijl B = [1 + 9] +[-3+3]i$

$\dpi{120} \Rechts Pijl B = 10$

daarom, $\dpi{120} A\cdot B = 29\cdot 10 = 290$ .

Oplossing van vraag 4

We willen de waarde van. berekenen $\dpi{120} p$ en $\dpi{120} q$ waarvoor $\dpi{120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Wanneer $\dpi{120} z_1 = 3 - pi$ en $\dpi{120} z_2 = 1 + 2i$ .

Het betekent vinden $\dpi{120} p$ en $\dpi{120} q$ zodat:

Bekijk enkele gratis cursussen

Gratis online cursus inclusief onderwijs
Gratis online speelgoedbibliotheek en leercursus
Gratis online cursus wiskundespellen in het voorschools onderwijs
Gratis online cursus Pedagogische Culturele Workshops

$\dpi{120} \frac{3-pi}{1+2i} = q + 2i$

Door de uitdrukking van de deling tussen twee complexe getallen, moeten we:

$\dpi{120} \frac{3-pi}{1+2i} = \frac{[3\cdot 1+(-p)\cdot 2]}{1^2+2^2} + \frac{[ (-p)\cdot 1-3\cdot 2]}{1^2+2^2}i = \frac{3 - 2p}{5} + \frac{(-p - 6)}{5}i$

Door de twee voorwaarden samen te voegen, moeten we hebben:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} + \frac{(-p - 6)}{5}i = q + 2i$

D.w.z:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} = q \: \: \mathrm{e}\: \: \frac{(-p-6)}{5}i = 2i$

Laten we elk van deze vergelijkingen oplossen, te beginnen met de tweede die alleen afhangt van p.

$\dpi{120} \frac{(-p-6)}{5}i = 2i$

$\dpi{120} \Rechts \frac{(-p-6)}{5} = 2$

$\dpi{120} \Rechts -p - 6 = 10$

$\dpi{120} \Rechts p = -16$

Nu vinden we q door de andere vergelijking:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} = q$

$\dpi{120} \Rightarrow \frac{3 - 2\cdot (-16)}{5} = q$

$\dpi{120} \Rechts q = 7$

Oplossing van vraag 5

We willen de waarde vinden van find $\dpi{120} naar$ waarvoor $\dpi{120} (a + 3i): (3 + 2i)$ een zuiver denkbeeldig getal zijn.

Een zuiver denkbeeldig getal is een getal waarvan het reële deel gelijk is aan nul.

Gezien de uitdrukking van de verdeling tussen twee complexe getallen, hebben we dat:

$\dpi{120} \frac{a + 3i}{3 + 2i} = \frac{a\cdot 3 + 3\cdot 2}{3^3 + 2^2} + \frac{3\cdot 3 - a \cdot 2}{3^3 + 2^2}i = \frac{3a + 6}{13} + \frac{9-2a}{13}i$

Om dit getal puur denkbeeldig te maken, moeten we hebben:

$\dpi{120} \frac{3a + 6}{13} = 0$

$\dpi{120} \Rechts 3a + 6 = 0$

$\dpi{120} \Rechts a = -2$

Oplossing van vraag 6

Door machten en complexe getallen te definiëren, moeten we:

$\dpi{120} i^0 = 1$
$\dpi{120} i^1 = i$
$\dpi{120} ik ^2 = -1$
$\dpi{120} i^3 = -i$
$\dpi{120} i^4=1$
$\dpi{120} i^5 = i$
$\dpi{120} i^6 = -1$
$\dpi{120} i^7 = -i$

Observeer een patroon dat zich elke vier opeenvolgende machten herhaalt: 1, i, -1 en -i.

Dus, om het resultaat te vinden bij elke macht van i, deel de exponent door 4. De rest van de deling is 0, 1, 2 of 3 en deze waarde is de exponent die we moeten gebruiken.

De) $\dpi{120} i^{16}$

16: 4 = 4 en de rest is 0.

Dan, $\dpi{120} i^{16} = i^0 = 1$ .