DE 2e graads vergelijking wordt gekenmerkt voor een polynoom van graad 2, dat wil zeggen een polynoom van het type ax2+bx+c, waar De, B en ç zij zijn echte getallen. Bij het oplossen van een vergelijking van graad 2 zijn we geïnteresseerd in het vinden van waarden voor het onbekende. X dat maakt de waarde van de uitdrukking gelijk aan 0, die wortels worden genoemd, dat wil zeggen, ax2 + bx + c = 0.
Lees ook: Verschillen tussen functie en vergelijking
Soorten 2e graads vergelijkingen
De 2e graads vergelijking kan zijn vertegenwoordigd door ax²+bx+c=0, waarbij de coëfficiënten De, B en ç zijn reële getallen, met De ≠ 0.
→ Voorbeelden
a) 2x2 +4x – 6 = 0 → a = 2; b =4 en c = – 6
b) x2 – 5x + 2 = 0 → a =1; b= – 5 en c = 2
c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 en c = -1
De 2e graads vergelijking is geclassificeerd als compleet wanneer alle coëfficiënten verschillend zijn van 0, dat wil zeggen, De ≠ 0, B ≠ 0 en ç ≠ 0.
De 2e graads vergelijking is geclassificeerd als
incompleet wanneer de waarde van de coëfficiënten B of ç zijn gelijk aan 0, dat wil zeggen, b = 0 of c = 0.→ Voorbeelden
a) 2x2 – 4 = 0 → a = 2; b = 0 en c = – 4
b) -x2 + 3x = 0 → a = – 1; b = 3 en c = 0
c) x2 = 0 → een = 1; b=0 en c=0
Let op: de coëfficiëntwaarde: De het is nooit gelijk aan 0, als dat gebeurt, is de vergelijking niet langer 2e graads.
Hoe 2e graads vergelijkingen op te lossen?
De oplossing van een 2e graads vergelijking treedt op wanneer de wortels worden gevonden, dat wil zeggen, de waarden die zijn toegewezen aan X. Deze waarden van X moet de gelijkheid waar maken, dat wil zeggen, door de waarde van te vervangen X in de uitdrukking moet het resultaat gelijk zijn aan 0.
→ Voorbeeld
Gezien de x-vergelijking2 – 1 = 0 we hebben dat x’ = 1 en x’’ = – 1 zijn oplossingen van de vergelijking, want als we deze waarden in de uitdrukking vervangen, hebben we een echte gelijkheid. Kijken:
X2 – 1 = 0
(1)2 – 1 = 0 en (–1)2 – 1 = 0
Om de oplossing van a of te vinden vergelijking, is het noodzakelijk om te analyseren of de vergelijking volledig en onvolledig is en te selecteren welke methode zal worden gebruikt.
Oplossingsmethode voor vergelijkingen van het type bijl²+ c = 0
De methode om de oplossing te bepalen van onvolledige vergelijkingen die: B=0bestaat uit het isoleren van het onbekende X, dus:
→ Voorbeeld
Vind de wortels van de vergelijking 3x2 – 27 = 0.
Wil je meer weten over deze methode, ga dan naar: 2e graads onvolledige vergelijking met nulcoëfficiënt b.
Oplossingsmethode voor vergelijkingen van het type bijl2 + bx = 0
De methode voor het bepalen van de mogelijke oplossingen van een vergelijking met ç =0, bestaat uit het gebruik van de bewijsfactoring. Kijken:
bijl2 + bx = 0
x·(ax + b) = 0
Als we naar de laatste gelijkheid kijken, valt het op dat er een vermenigvuldiging is en dat om het resultaat 0 te laten zijn, het noodzakelijk is dat ten minste één van de factoren gelijk is aan 0.
x·(ax + b) = 0
x = 0 of ax + b = 0
De oplossing van de vergelijking wordt dus gegeven door:
→ Voorbeeld
Bepaal de oplossing van de vergelijking 5x2 – 45x = 0
Wil je meer weten over deze methode, ga dan naar: onvolledige 2e graads vergelijking met nulcoëfficiënt c.
Oplossingsmethode voor volledige vergelijkingen
De methode die bekend staat als Bhaskara-methode of Bhaskara-formule wijst erop dat de wortels van een 2e graads vergelijking van het type ax2 + bx + c = 0 wordt gegeven door de volgende relatie:
→ Voorbeeld
Bepaal de oplossing van de vergelijking X2 – x – 12 = 0.
Merk op dat de coëfficiënten in de vergelijking zijn: een = 1; B= – 1 en ç = – 12. Als we deze waarden in de formule van Bhaskara vervangen, hebben we:
De delta (Δ) is vernoemd naar discriminerend en merk op dat het in een vierkantswortel en, zoals we weten, is het, rekening houdend met de reële getallen, niet mogelijk om de vierkantswortel van een negatief getal te extraheren.
Als we de waarde van de discriminant kennen, kunnen we enkele uitspraken doen over de oplossing van de 2e graads vergelijking:
→ positieve discriminant (Δ > 0): twee oplossingen voor de vergelijking;
→ discriminant gelijk aan nul (Δ = 0): de oplossingen van de vergelijking worden herhaald;
→ negatieve discriminant (Δ < 0): geeft geen echte oplossing toe.
Tweedegraads vergelijkingssystemen
Wanneer we tegelijkertijd twee of meer vergelijkingen beschouwen, hebben we a stelsel van vergelijkingen. De oplossing van een 2-variabel systeem is de set van bestelde paren die tegelijkertijd aan alle betrokken vergelijkingen voldoet.
→ Voorbeeld
Denk aan het systeem:
Met de waarden: x’ = 2, x’’ = – 2 en y’ = 2, y’’ = – 2 kunnen we geordende paren samenstellen die tegelijkertijd aan de systeemvergelijkingen voldoen. Zie: (2, 2), (2, – 2), (– 2, 2), (– 2, – 2).
Bedenk dat een geordend paar is geschreven van de vorm (x, y).
De methoden voor het vinden van de oplossing van een stelsel vergelijkingen zijn vergelijkbaar met die van lineaire systemen.
→ Voorbeeld
Denk aan het systeem:
Laten we uit de vergelijking x – y = 0 het onbekende isoleren X, dus:
x - y = 0
x = y
Nu moeten we de geïsoleerde waarde in de andere vergelijking vervangen, zoals deze:
X2 – x –12 = 0
ja2 – y –12 = 0
Met behulp van de methode van Bhaskara moeten we:
Aangezien x = y, hebben we x’ = y’ en x’’ = y’’. D.w.z:
x' = 4
x'' = -3
De geordende paren zijn dus oplossingen van het systeem (4, 4) en (– 3,– 3).
Lees verder: Stelsel van 1e en 2e graads vergelijkingen
Oefeningen opgelost
vraag 1 – (ESPM -SP) De oplossingen van de onderstaande vergelijking zijn twee getallen
a) neven.
b) positief.
c) negatief.
d) paren.
e) vreemd.
Oplossing
We weten dat de noemers van een breuk niet gelijk kunnen zijn aan nul, dus x ≠1 en x≠3. En aangezien we een gelijkheid van breuken hebben, kunnen we kruiselings vermenigvuldigen, waarbij we krijgen:
(x+3) · (x+3) = (x – 1) · (3x +1)
X2 + 6x +9 = 3x2 – 2x – 1
X2 – 3x2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) – 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2x2 – 8x – 10 = 0
Als we beide zijden van de vergelijking door 2 delen, krijgen we:
X2 – 4x – 5 = 0
Met behulp van de formule van Bhaskara volgt dat:
Merk op dat de wortels van de vergelijking oneven getallen zijn.
alternatief e.
vraag 2 – (UFPI) Een pluimveehouder ontdekte dat na het plaatsen van (n +2) vogels in elk van de n beschikbare kwekerijen, er slechts één vogel over zou blijven. Het totale aantal vogels, voor elke natuurlijke waarde van n, is altijd
a) een even getal.
b) een oneven getal.
c) een perfect vierkant.
d) een getal dat deelbaar is door 3.
e) een priemgetal.
Oplossing
Het aantal vogels kan worden gevonden door het aantal volières te vermenigvuldigen met het aantal vogels dat in elke volière is geplaatst. van hen, door de verklaring van de oefening na het doen van dit proces is er nog één vogel over, we kunnen dit allemaal in het volgende schrijven manier:
n·(n+2) +1
Als we de distributiviteit uitvoeren, krijgen we:
Nee2 + 2n +1
En het ontbinden van deze polynoom volgt dat:
(n+1)2
Het totale aantal vogels is dus altijd een perfect kwadraat voor elk natuurlijk getal n.
alternatief C
door Robson Luiz
Wiskundeleraar
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm
