De wetten van Kepler op planetaire beweging werden tussen 1609 en 1619 ontwikkeld door de Duitse astronoom en wiskundige Johannes Kepler. De drie wetten van Kepler, gebruikt om de te beschrijven banen van de planeten van Zonnestelsel, werden gebouwd op basis van nauwkeurige astronomische metingen, verkregen door de Deense astronoom. Tycho Brahe.
Inleiding tot de wetten van Kepler
Bijdragen achtergelaten door Nicolas Copernicus in de buurt van astronomie brak met de visie geocentrist van het heelal, afgeleid van het planetaire model van Claudio Ptolemaeus. Het door Copernicus voorgestelde model, hoewel complex, maakte het mogelijk voorspelling en de uitleg van de banen van verschillende planeten had het echter enkele gebreken, waarvan de meest dramatische een bevredigende verklaring was voor de retrograde baan van Mars gedurende bepaalde perioden van het jaar.
Zie ook:geschiedenis van de astronomie
De oplossing van onverklaarbare problemen door het planetaire model van Copernicus kwam pas in de 17e eeuw, door toedoen van
Johannes Kepler. Daartoe gaf Kepler toe dat de banen van de planeten niet perfect cirkelvormig waren, maar eerder: elliptisch. In het bezit van uiterst nauwkeurige astronomische gegevens, uitgevoerd door Brahe, heeft Kepler twee wetten opgesteld die de beweging van planeten regelen, 10 jaar later publiceerde het een derde wet, die het mogelijk maakt om de omlooptijd of zelfs de baanradius van de planeten die rond draaien te schatten van Zon.
De wetten van Kepler
De wetten van de planetaire beweging van Kepler staan bekend als: wet van elliptische banen,wet van gebieden en wet van perioden. Samen verklaren deze hoe de beweging van elk lichaam dat om een massieve ster draait werkt, zoals: planeten of sterren. Laten we eens kijken wat er in de wetten van Kepler staat:
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
1e wet van Kepler: baanwet
DE De eerste wet van Kepler stelt dat de baan van planeten die om de zon draaien niet cirkelvormig is, maar elliptisch. Bovendien bezet de zon altijd een van de brandpunten van deze ellips. Hoewel elliptisch, zijn sommige banen, zoals die van de aarde, heel dicht bij een cirkel, aangezien het ellipsen zijn die een hebben excentriciteitveelweinig. Excentriciteit is op zijn beurt de maat die aangeeft hoeveel een geometrische figuur verschilt van a cirkel en het kan worden berekend door de relatie tussen de halve assen van de ellips.
"De baan van de planeten is een ellips waarin de zon een van de brandpunten inneemt."
2e wet van Kepler: wet van gebieden
De tweede wet van Kepler stelt dat de denkbeeldige lijn die de zon verbindt met de planeten die eromheen draaien, gebieden met gelijke tijdsintervallen bestrijkt. Met andere woorden, deze wet stelt dat de de snelheid waarmee de gebieden worden geveegd is hetzelfde, dat wil zeggen, de halosnelheid van de banen is constant.
"De denkbeeldige lijn die de zon verbindt met de planeten die eromheen draaien, beweegt met gelijke tijdsintervallen over gelijke gebieden."
3e wet van Kepler: wet van perioden of wet van harmonie
De derde wet van Kepler stelt dat het kwadraat van de omlooptijd van een planeet (T²) recht evenredig is met de derde macht van de gemiddelde afstand tot de zon (R³). Verder is de verhouding tussen T² en R³ voor alle sterren die om deze ster draaien exact even groot.
"De verhouding tussen het kwadraat van de periode en de derde macht van de gemiddelde straal van de baan van een planeet is constant."
De uitdrukking die wordt gebruikt om de derde wet van Kepler te berekenen, wordt hieronder weergegeven, bekijk het eens:
T - omlooptijd
R – gemiddelde straal van de baan
Kijk naar de volgende figuur, daarin tonen we de grote en kleine assen van een planetaire baan rond de zon:
De gemiddelde straal van de baan, gebruikt bij de berekening van de derde wet van Kepler, wordt gegeven door het gemiddelde tussen de maximale en minimale straal. De posities in de figuur, die de grootste en kortste afstand van de aarde tot de zon kenmerken, worden respectievelijk aphelium en perihelion genoemd.
Wanneer de aarde de nadert perihelium, jouw omloopsnelheid neemt toe, aangezien de zwaartekrachtversnelling van de zon intensiveert. Op deze manier heeft de aarde maximale kinetische energie wanneer in de buurt van de perihelium. Als het aphelium nadert, verliest het kinetische energie, waardoor de omloopsnelheid tot de kleinste maat wordt teruggebracht.
Meer weten: Zwaartekrachtversnelling - formules en oefeningen
De meer gedetailleerde formule van de derde wet van Kepler wordt hieronder getoond. Merk op dat de verhouding tussen T² en R³ uitsluitend wordt bepaald door twee constanten, het getal pi en de constante van de universele zwaartekracht, en ook door de pasta van de zon:
G – constante van universele zwaartekracht (6.67.10-11 N.m²/kg²)
M – massa van de zon (1.989,1030 kg)
Deze wet is niet verkregen door Kepler, maar door Isaac Newton, door wet van universele zwaartekracht. Om het te doen, Newton vastgesteld dat de aantrekkingskracht tussen de aarde en de zon a middelpuntzoekende kracht. Bekijk de volgende berekening, die laat zien hoe het mogelijk is om, op basis van de wet van de universele zwaartekracht, de algemene uitdrukking van de derde wet van Kepler te verkrijgen:
Weet ook:Wat is centripetale versnelling?
Bekijk de onderstaande tabel, waarin we laten zien hoe de metingen van T² en R³ variëren, naast hun verhouding, voor elk van de planeten in het zonnestelsel:
Planeet |
Gemiddelde straal van de baan (R) in AU |
Periode in aardse jaren (T) |
T²/R³ |
Kwik |
0,387 |
0,241 |
1,002 |
Venus |
0,723 |
0,615 |
1,001 |
Aarde |
1,00 |
1,00 |
1,000 |
Mars |
1,524 |
1,881 |
1,000 |
Jupiter |
5,203 |
11,860 |
0,999 |
Saturnus |
9,539 |
29,460 |
1,000 |
Uranus |
19,190 |
84,010 |
0,999 |
Neptunus |
30,060 |
164,800 |
1,000 |
De gemiddelde straal van de banen in de tabel wordt gemeten in astronomische eenheden (u). Een astronomische eenheid komt overeen met: afstandgemiddelde tussen de aarde en de zon, ongeveer 1,496,1011 m. Bovendien zijn de kleine variaties in de T² over R³-verhoudingen te wijten aan precisiebeperkingen in de metingen van de orbitale straal en de periode van vertaling van elke planeet.
Kijkenook: Middelpuntzoekende krachttoepassingen - stekels en depressies
Oefeningen over de wetten van Kepler
Vraag 1) (Ita 2019) Een ruimtestation, Kepler, bestudeert een exoplaneet waarvan de natuurlijke satelliet een elliptische baan heeft van semi-groot a0 en periode T0, waarbij d = 32a0 de afstand tussen het station en de exoplaneet. Een object dat loskomt van Kepler wordt door de zwaartekracht aangetrokken tot de exoplaneet en begint een vrije valbeweging vanuit rust ten opzichte daarvan. Als we de rotatie van de exoplaneet verwaarlozen, worden de zwaartekrachtinteractie tussen de satelliet en het object, evenals de afmetingen van alle betrokken lichamen, berekend als een functie van T0 de valtijd van het object.
Sjabloon: t = 32T0
Resolutie:
Als we er rekening mee houden dat de excentriciteit van de elliptische baan die het object zal beschrijven ongeveer gelijk is aan 1, we kunnen aannemen dat de baanradius van het object gelijk zal zijn aan de helft van de afstand tussen het Kepler-ruimtestation en de planeet. Op deze manier zullen we berekenen hoe lang het object de planeet vanaf zijn oorspronkelijke positie moet naderen. Daarvoor moeten we de periode van de baan vinden, en de valtijd zal op zijn beurt gelijk zijn aan de helft van die tijd:
Nadat we de derde wet van Kepler hebben toegepast, delen we het resultaat door 2, want wat we berekenen het was de omlooptijd, waarin, in de helft van de tijd, het object naar de planeet valt, en in de andere helft, beweegt weg. Dus de valtijd, in termen van T0, het is hetzelfde als 32T0.
Vraag 2) (Udesc 2018) Analyseer de stellingen met betrekking tot de wetten van Kepler over planetaire beweging.
IK. De snelheid van een planeet is het grootst in het perihelium.
II. Planeten bewegen in cirkelvormige banen, met de zon in het midden van de baan.
III. De omlooptijd van een planeet neemt toe met de gemiddelde straal van zijn baan.
IV. De planeten bewegen in elliptische banen, met de zon in een van de brandpunten.
V. De snelheid van een planeet is hoger in aphelium.
vink het alternatief aan correct.
a) Alleen beweringen I, II en III zijn waar.
b) Alleen beweringen II, III en V zijn waar.
c) Alleen beweringen I, III en IV zijn waar.
d) Alleen beweringen III, IV en V zijn waar.
e) Alleen beweringen I, III en V zijn waar.
Sjabloon: Letter C
Resolutie:
Laten we eens kijken naar de alternatieven:
ik - ECHT. Wanneer de planeet het perihelium nadert, neemt de translatiesnelheid toe, vanwege de winst in kinetische energie.
II- ONWAAR. Planetaire banen zijn elliptisch, waarbij de zon een van hun brandpunten bezet.
III- ECHT. De omlooptijd is evenredig met de straal van de baan.
IV- ECHT. Deze bewering wordt bevestigd door de verklaring van de eerste wet van Kepler.
V- ONWAAR. De snelheid van een planeet is het grootst in de buurt van het perihelium.
Vraag 3) (opluchting) Vele theorieën over het zonnestelsel volgden, totdat in de 16e eeuw de Pool Nicolaus Copernicus een revolutionaire versie presenteerde. Voor Copernicus was de zon, niet de aarde, het centrum van het systeem. Momenteel is het geaccepteerde model voor het zonnestelsel in feite dat van Copernicus, met correcties voorgesteld door de Duitser Johannes Kepler en latere wetenschappers.
Over gravitatie en de wetten van Kepler, overweeg de volgende uitspraken: waar (Ik zal nep (F).
IK. Door de zon als referentie te gebruiken, bewegen alle planeten in elliptische banen, met de zon als een van de brandpunten van de ellips.
II. De positievector van het massamiddelpunt van een planeet in het zonnestelsel, ten opzichte van het massamiddelpunt van de Zon, veegt gelijke gebieden met gelijke tijdsintervallen, ongeacht de positie van de planeet in uw baan.
III. De positievector van het massamiddelpunt van een planeet in het zonnestelsel, ten opzichte van het massamiddelpunt van de zon, veegt proportionele gebieden met gelijke tijdsintervallen, ongeacht de positie van de planeet in zijn baan.
IV. Voor elke planeet in het zonnestelsel is het quotiënt van de derde macht van de gemiddelde straal van de baan en het kwadraat van de omwentelingsperiode rond de zon constant.
vink het alternatief aan CORRECT.
a) Alle beweringen zijn waar.
b) Alleen beweringen I, II en III zijn waar.
c) Alleen beweringen I, II en IV zijn waar.
d) Alleen beweringen II, III en IV zijn waar.
e) Alleen beweringen I en II zijn waar.
Sjabloon: Letter C
Resolutie:
IK. WAAR. De verklaring is de verklaring van de eerste wet van Kepler.
II. WAAR. De verklaring valt samen met de definitie van de tweede wet van Kepler.
III. ONWAAR. De bepaling van de tweede wet van Kepler, die voortvloeit uit het principe van behoud van impulsmoment, impliceert dat de geveegde gebieden gelijk zijn voor gelijke tijdsintervallen.
IV. WAAR. De verklaring reproduceert de derde wetsverklaring van Kepler, ook bekend als de wet van perioden.
Door mij Rafael Helerbrock
