veelvlakken (uit het latijn poly — veel — en edron — gezicht) zijn figurendriedimensionaal gevormd door de vereniging van regelmatige veelhoeken, waarbij de veelvlakkige hoeken allemaal congruent zijn. De vereniging van deze polygonen vormt elementen waaruit het veelvlak bestaat, ze zijn: hoekpunten, randen en gezichten. Niet elke driedimensionale figuur is echter een veelvlak, een voorbeeld hiervan zijn figuren met gebogen vlakken genaamd ronde lichamen.
Er is een wiskundige formule die de elementen van een veelvlak met de naam Euler's relatie. Daarnaast zijn veelvlakken verdeeld in twee groepen: de zogenaamde veelvlakken convex en de niet convex. Sommige veelvlakken verdienen speciale aandacht, ze heten Plato's veelvlakken: tetraëder, hexaëder, octaëder, dodecaëder en icosaëder.
Lees ook: Verschillen tussen platte en ruimtelijke figuren
convexe veelvlakken
Een veelvlak zal convex zijn wanneer gevormd door polygonen convex, zodat de volgende voorwaarden worden geaccepteerd:
- twee van de polygonen Nooit ze zijn coplanair, dat wil zeggen, ze behoren niet tot hetzelfde vlak.
- Elke zijde van een van deze polygonen behoort tot slechts twee polygonen.
- Het vlak dat een van deze polygonen bevat, laat de andere polygonen in dezelfde halve ruimte.
Lees ook:Som van binnen- en buitenhoeken van een convexe veelhoek
Elementen van een convex veelvlak
Beschouw dit convexe veelvlak:
U vierhoeken in de figuur worden genoemd gezichten van het veelvlak.
U vijfhoeken zijn de gezichten en de basis van het veelvlak, dat wordt genoemd vijfhoekig basis veelvlak.
De segmenten die elk van de vlakken vormen heten randen van het veelvlak.
De punten waar de randen samenkomen heten hoekpunten.
Het lijnstuk JC wordt genoemd diagonaal van het veelvlak, aangeduid met:
JC is een van de diagonalen, begrijpen we diagonaal van het veelvlak als zijnde het lijnsegment dat twee hoekpunten verbindt die niet tot hetzelfde vlak behoren.
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
We hebben ook de veelvlakkige hoek, gevormd tussen de randen, aangeduid met:
Een veelvlakkige hoek heet a driekantig Wanneer drie randen komen voort uit een hoekpunt. Zo heet het ook tetraëdrisch, geval vier randen komen voort uit een hoekpunt, enzovoort.
Vanaf nu zullen we enkele notaties vaststellen, dit zijn:
Meer weten: Planning van geometrische lichamen
Eigenschappen van een convex veelvlak
Eigendom 1
De som van de randen van alle vlakken is gelijk aan tweemaal het aantal randen van het veelvlak.
Voorbeeld
Een veelvlak heeft 6 vierkante vlakken. Laten we het aantal randen bepalen.
Volgens de eigenschap vermenigvuldig je gewoon het aantal randen van een vlak met het aantal vlakken, en dit is gelijk aan tweemaal het aantal randen. Dus:
Eigendom 2
De som van de hoekpunten van alle vlakken is gelijk aan de som van de randen van alle vlakken, wat gelijk is aan tweemaal het aantal randen.
Voorbeeld
Een veelvlak met 5 tetraëdrische hoeken en 4 hexaëdrische hoeken. Laten we het aantal randen bepalen.
Analoog aan het vorige voorbeeld zegt de tweede eigenschap dat de som van de randen van alle vlakken gelijk is aan tweemaal het aantal randen. Het aantal randen wordt gegeven door het product van 5 bij 4 en 4 bij 6, aangezien ze 5 tetraëdrische en 4 hexaëdrische hoeken zijn. Dus:
Concave (niet-convexe) veelvlakken
Een veelvlak is niet-convex, of concaaf, wanneer we twee punten op verschillende vlakken nemen en de rechte r die deze punten bevat, is niet allemaal opgenomen in het veelvlak.
Merk op dat de rechte lijn (in blauw) niet volledig is in het veelvlak, dus het veelvlak (in roze) is concaaf of niet-convex.
regelmatige veelvlakken
We zeggen dat een veelvlak regelmatig is wanneer je gezichten zijn regelmatige polygonen gelijk aan elkaar en met veelvlakkige hoeken allemaal hetzelfde.
Zie enkele voorbeelden:
Merk op dat al je gezichten regelmatige veelhoeken zijn. De vlakken worden gevormd door vierkanten en de randen zijn allemaal congruent, dat wil zeggen, ze hebben dezelfde maat.
lezenook: Wat zijn regelmatige en convexe veelhoeken?
Euler's relatie
Ook gekend als de stelling van Euler, het resultaat werd bewezen door Leonhard Euler (1707 - 1783) en garandeert dat in alle gesloten convex veelvlak de volgende relatie is geldig:
Plato's veelvlakken
Elk veelvlak dat aan de volgende voorwaarden voldoet, wordt het veelvlak van Plato genoemd:
De Euler-relatie is geldig
Alle vlakken hebben hetzelfde aantal randen
Alle polyedrische hoeken hebben hetzelfde aantal randen
Het is bewezen dat er slechts vijf regelmatige en convexe veelvlakken zijn, of Plato's veelvlakken, dit zijn:
regelmatige tetraëder
de tetraëder heeft 4 driehoekige vlakken congruent en 4 driehoekige hoeken congruent.
regelmatige hexahedron
de hexahedron heeft 6 vierkante gezichten congruent en 8 driehoekige hoeken congruent.
regelmatige octaëder
de octaëder heeft 8 driehoekige vlakken congruent en 6 tetraëdrische hoeken congruent.
regelmatige dodecaëder
de dodecaëder heeft 12 vijfhoekige vlakken congruent en 20 hoekendriekantig congruent.
regelmatige icosaëder
De icosaëder heeft 20 driehoekige vlakken congruent en 12 vijfvlakkige hoeken congruent.
opgeloste oefeningen
1) (vijand) Een juweel werd gesneden in de vorm van een convex veelvlak met 32 vlakken, waarvan 20 hexaëders en de rest vijfhoekig. Dit juweel zal een geschenk zijn voor een dame die haar verjaardag viert en een leeftijd voltooit waarvan het aantal het aantal hoekpunten van dit veelvlak is. Deze dame voltooit:
a) 90 jaar
b) 72 jaar oud
c) 60 jaar oud
d) 56 jaar oud
e) 52 jaar oud
Oplossing:
geeft eigendom 1 van convexe veelvlakken weten we dat:
Nu hoe we kennen het aantal randen het is de aantal gezichten, we kunnen de Euler-relatie gebruiken.
Aangezien de leeftijd die je voltooit gelijk is aan het aantal hoekpunten, dan is dit 60 jaar. alternatief c.
2) (PUC-SP) Hoeveel randen heeft een convex veelvlak met driehoekige vlakken waar het aantal hoekpunten drievijfde is van het aantal vlakken?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Oplossing:
Uit de eigenschappen van een convex veelvlak en de opgave van de oefening hebben we:
Als we deze waarden in de Euler-relatie substitueren, hebben we het volgende:
Het organiseren van de vorige vergelijking en het oplossen van de vergelijking in F, volgt dat:
Als we de waarde van het aantal vlakken in de vergelijking van randen vervangen, krijgen we:
alternatief b
door Robson Luiz
Wiskundeleraar
Wil je naar deze tekst verwijzen in een school- of academisch werk? Kijken:
LUIZ, Robson. "Veelvlakken"; Braziliaanse School. Beschikbaar in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/poliedros.htm. Betreden op 27 juni 2021.
