Trigonometrie is een woord van Griekse oorsprong dat verwijst naar de maat van drie hoeken. Studies op dit gebied van wiskunde richten zich op: driehoeken, dit zijn veelhoeken met drie zijden en bijgevolg drie hoeken. In eerste instantie de trigonometrie het houdt zich bezig met het bestuderen van enkele eigenschappen en relaties van rechthoekige driehoeken om later de afmetingen van de zijden van de driehoeken te relateren aan de afmetingen van de hoeken.
Deze eigenschappen en relaties worden uitgebreid tot alle driehoeken door middel van stellingen die bekend staan als zonden wet en cosinus wet. Later worden sommige van deze resultaten waargenomen in driehoeken waarvan de zijden opmerkelijke segmenten van een cirkel zijn, die bekend staat als een "trigonometrische cirkel".
DE trigonometrie stelt een grote nieuwigheid voor. Daarvoor was het alleen mogelijk om berekeningen en eigenschappen te beschouwen die uitsluitend betrekking hadden op zijden of uitsluitend hoeken van een driehoek of basisrelaties tussen deze elementen. Bij aankomst is het mogelijk om de afmetingen van de zijden van een driehoek direct te relateren aan de meting van een van zijn hoeken. Het is opmerkelijk dat de relaties tussen de opvallende zijden en segmenten binnen een driehoek ook de vormen
trigonometrie.Voordat we ingaan op het concept van trigonometrie, Het is belangrijk om te weten wat de belangrijkste elementen in een rechthoekige driehoek zijn. Deze elementen worden hieronder uiteengezet:
Elementen van een rechthoekige driehoek
Elke rechthoekige driehoek kan worden onderverdeeld in twee andere rechthoekige driehoeken, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding, waarbij de hoogte "h" wordt bepaald ten opzichte van de basis "a".
De hoogte van deze rechthoekige driehoek vormt twee hoeken van 90° met zijn basis
Rekening houdend met driehoek ABD, rechthoek in B, is het mogelijk om de volgende elementen waar te nemen:
1 – De zijden AB en BD worden zijden genoemd en hun afmetingen zijn respectievelijk c en b;
2 – De AD-zijde wordt de hypotenusa genoemd en de meting is a. Deze zijde zal altijd tegenover de hoek van 90° liggen;
3 – BE is de hoogte van driehoek ABD ten opzichte van basis AD en de afmeting is h. (denk eraan dat de hoogte altijd een hoek van 90° vormt met de basis ten opzichte daarvan);
4 – AE is de orthogonale projectie van het AB-been over de hypotenusa. De maat is m;
5 – ED is de orthogonale projectie van het BD-been over de hypotenusa. De meting is n.
Vervolgens presenteren en bespreken we enkele eigenschappen die worden gezien in trigonometrie, gebaseerd op de elementen van de rechthoekige driehoek die hierboven is weergegeven.
Metrische relaties in de rechthoekige driehoek
Het zijn gelijkheden die zijden, hoogte en orthogonale projecties van een rechthoekige driehoek met elkaar in verband brengen:
1) c2 = gemiddeld
2) b·c = a·h
3) h2 =m·n
4) b2 = nee
5) de2 = b2 + c2 (De stelling van Pythagoras)
Goniometrische verhoudingen of verhoudingen in de rechthoekige driehoek
Deze gelijkheden relateren verhoudingen tussen de zijden van een rechthoekige driehoek aan een van zijn scherpe hoeken. Om dit te doen, is het noodzakelijk om een van de twee hoeken vast te leggen en in de rechthoekige driehoek de definities van de tegenoverliggende zijde en de aangrenzende zijde te observeren:
Rechthoekige driehoek, met de nadruk op de αhoek
BD is de tegenovergestelde been naar hoek ;
AB is de aangrenzend been naar hoek .
Dit zijn de voorwaarden voor het definiëren van de trigonometrische verhoudingen. Zijn zij:
→ sinus van αα
zonde α = Cathetus tegenover
hypotenusa
→ Cosinus van α
cos α = Catheto grenzend aan
hypotenusa
→ Raaklijn van α
tg α = Cathetus tegenover
Catheto grenzend aan
Deze redenen zijn van toepassing op elke rechthoekige driehoek met een scherpe hoek gelijk aan α. Het resultaat van deze delingen is altijd hetzelfde, ongeacht de lengte van de zijde van de driehoek, als twee driehoeken die twee gelijke hoeken hebben, vanwege de driehoek gelijkenis hoek-hoek, hebben proportionele zijden. Hieruit volgt dat de verhouding tussen de zijden gelijk is.
trigonometrische cirkel
Ook wel een trigonometrische cyclus of trigonometrische cirkel genoemd (juiste maar minder gebruikelijke namen), het is een georiënteerde cirkel met straal 1. Op deze omtrek, a rechthoekige driehoek, waarvan de hoek α samenvalt met de oorsprong, zodat de hoogte van deze driehoek van de as van de abscis naar de rand van de cirkel gaat.
Deze hoogte valt samen met de waarde van sinus, omdat het de andere kant is van hoek α. De maat die gaat van het punt waar de hoogte de as van de abscis naar de oorsprong raakt, valt samen met de zijde die grenst aan hoek α, dat wil zeggen met de waarde van cosinus.
Deze toevalligheden treden op omdat de hypotenusa altijd 1 is, omdat dit de straal van de cirkel is. Let op deze eigenschappen in de onderstaande afbeelding:
Cirkel met straal 1, waarop een rechthoekige driehoek is geplaatst om zijn eigenschappen te evalueren
Wat de rechthoekige driehoek op die cirkel ook is, de zijde die samenvalt met een deel van de abscis meet exact de cosinuswaarde van α en de andere kant meet exact de sinus van α.
Goniometrische functies
Met behulp van de trigonometrische cirkel is het mogelijk om te definiëren: trigonometrische functies die elk element van de verzameling reële getallen relateren aan een enkel element ook van de verzameling reële getallen. Deze getallen worden echter uitgedrukt in radialen, wat een maateenheid is als functie van π die wordt gebruikt omdat na 360° in de trigonometrische cirkel, het tellen van graden en dus van de domein- en tegendomeinelementen van een daarop gebaseerde functie kan vanaf nul herstart worden.
fundamentele relaties
De fundamentele relaties van trigonometrie zijn:
1) Fundamentele relatie 1
Sen2α + cos2α = 1
2) raaklijn van α
tg α = zonde
want
3) Cotangens van α, wat het omgekeerde is van de tangens van αα
cotg α = want
zonde
4) secans van α, wat het omgekeerde is van de cosinus van α
sec α = 1
want
5) Cossecant van α, wat de inverse is van de sinus van α
cossec α = 1
zonde
6) Relatie ontstaan 1
tg2α + 1 = sec2α
7) Relatie 2
cotg2α + 1 = cossec2α
8) Terugkerende relatie 3
cotg α = 1
tg
Door Luiz Paulo Moreira
Afgestudeerd in wiskunde
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-trigonometria.htm