DE cosinus wet is trigonometrische relatie gebruikt om kanten te relateren en hoeken op een driehoek elke, dat wil zeggen, die driehoek die niet noodzakelijk een rechte hoek heeft. Let op de volgende driehoek ABC met de gemarkeerde maten:
DE wetVancosinus kan worden gegeven door een van de volgende: uitdrukkingen:
De2 = b2 + c2 – 2·b·c·cosα
B2 = de2 + c2 – 2·a·c·cosβ
ç2 = b2 + de2 – 2·b·a·cosθ
Observatie: Het is niet nodig om deze drie formules te onthouden. Weet gewoon dat de wetVancosinus er kan altijd gebouwd worden. Merk op dat in de eerste uitdrukking de hoek is tegenover de zijde waarvan de maat wordt gegeven door De. We beginnen de formule met het vierkant aan de andere kant van de hoek die in de berekeningen zal worden gebruikt. Het is gelijk aan de som van de kwadraten van de andere twee zijden, minus tweemaal het product van de twee zijden die niet tegenover deze hoek liggen door de cosinus van .
Op deze manier kunnen de drie bovenstaande formules worden teruggebracht tot:
De2 = b2 + c2 – 2·b·c·cosα
Zolang we weten dat “De" is de meting aan de andere kant van "α", en dat "b" en "c" de afmetingen zijn van de andere twee zijden van de driehoek.
Demonstratie
Gezien de driehoek Elk ABC, met de maatregelen gemarkeerd in de volgende afbeelding:
Beschouw de driehoeken ABD en BCD gevormd door de hoogte BD van driehoek ABC. De... gebruiken de stelling van Pythagoras in ABD hebben we:
ç2 = x2 + h2
H2 = c2 – x2
Dezelfde stelling gebruiken voor de driehoek BCD, we hebben:
De2 = ja2 + h2
H2 = de2 - ja2
Wetende dat er is2 = c2 – x2, we zullen hebben:
ç2 – x2 = de2 - ja2
ç2 – x2 + ja2 = de2
De2 = c2 – x2 + ja2
Opmerking in de afbeelding van driehoek waarbij b = x + y, waarbij y = b – x. Als we deze waarde vervangen in het eerder verkregen resultaat, hebben we:
De2 = c2 – x2 + ja2
De2 = c2 – x2 + (b - x)2
De2 = c2 – x2 + b2 – 2bx + x2
De2 = c2 + b2 – 2bx
Kijk nog steeds naar de figuur en merk op dat:
cosα = X
ç
c·cosα = x
x = c·cosα
Als we dit resultaat in de vorige uitdrukking substitueren, krijgen we:
De2 = c2 + b2 – 2bx
De2 = c2 + b2 – 2b·c·cosα
Dit is precies de eerste van de drie hierboven gepresenteerde uitdrukkingen. De andere twee kunnen analoog aan deze worden verkregen.
Voorbeeld - Bij de driehoek bereken dan de maat van x.
Oplossing:
De... gebruiken wetVancosinus, merk op dat x de maat is van de zijde tegenover de hoek van 60 °. Daarom zou het eerste "nummer" dat in de oplossing moet verschijnen, dit moeten zijn:
X2 = 102 + 102 – 2·10·10·cos60°
X2 = 100 + 100 – 2·100·cos60°
X2 = 200 - 200·cos60°
X2 = 200 – 200·1
2
X2 = 200 – 100
X2 = 100
x = ± √100
x = ± 10
Aangezien er geen negatieve lengtes zijn, zou het resultaat alleen de positieve waarde moeten zijn, dwz x = 10 cm.
door Luiz Moreira
Afgestudeerd in wiskunde
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm
