Een van de technieken die worden gebruikt om op te lossen kwadratische vergelijkingen is de methode die bekend staat als volledige vierkanten. Deze methode bestaat uit het interpreteren van de vergelijking van tweedemate als een perfecte vierkante trinominaal en schrijf uw factored formulier. Soms onthult deze eenvoudige procedure al de wortels van de vergelijking.
Daarom is het noodzakelijk om basiskennis te hebben over opmerkelijke producten, trinominaalpleinPerfect en polynomiale factorisatie om deze techniek te gebruiken. Vaak is het echter mogelijk om berekeningen 'in het hoofd' uit te voeren.
Daarom zullen we ons de drie gevallen herinneren van: productenopmerkelijk voor het demonstreren van de methodevervolledigenvierkanten, die op hun beurt in drie verschillende gevallen zal worden blootgesteld.
Uitstekende producten en perfecte vierkante trinomials
Bekijk vervolgens het opmerkelijke product, de trinominaalpleinPerfect wat gelijk is aan het en de vorm meegerekend respectievelijk van deze trinominaal. Om dit te doen, bedenk dat x onbekend is en De is een reëel getal.
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2 = (x + k)(x + k)
(x - k)2 = x2 – 2kx + k2 = (x-k)(x-k)
De vergelijking van de tweede graad die verwijst naar de derde Productopmerkelijk, bekend als het product van de som en het verschil, kan worden opgelost met een techniek die berekeningen nog eenvoudiger maakt. Daarom wordt het hier niet behandeld.
De vergelijking is de perfecte vierkante trinominaal
Als een vergelijking van tweedemate is een perfecte vierkante trinominaal, dan kun je de coëfficiënten identificeren als: een = 1, b = 2k of – 2k en c = k2. Om dit te controleren, vergelijk je gewoon een kwadratische vergelijking met a trinominaalpleinPerfect.
Daarom, in de oplossing van de vergelijking van tweedemate X2 + 2kx + k2 = 0, hebben we altijd de mogelijkheid om te doen:
X2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
√[(x + k)2] = √0
|x + k| = 0
x + k = 0
x = - k
– x – k = 0
x = - k
De oplossing is dus uniek en gelijk aan -k.
Als vergelijking wees x2 – 2kx + k2 = 0, we kunnen hetzelfde doen:
X2 – 2kx + k2 = 0
(x - k)2 = 0
√[(x - k)2] = √0
|x – k| = 0
x - k = 0
x = k
– x + k = 0
– x = – k
x = k
Daarom is de oplossing uniek en gelijk aan k.
Voorbeeld: Wat zijn de wortels van? vergelijking X2 + 16x + 64 = 0?
Merk op dat de vergelijking a. is trinominaalpleinPerfect, aangezien 2k = 16, waarbij k = 8, en k2 = 64, waarbij k = 8. We kunnen dus schrijven:
X2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
[(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = – 8
Hier is het resultaat vereenvoudigd, omdat we al weten dat de twee oplossingen gelijk zullen zijn aan hetzelfde reële getal.
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
De vergelijking is geen perfecte vierkante trinominaal
In gevallen waarin de vergelijking van tweedemate geen perfecte vierkante trinominaal is, kunnen we de volgende hypothese gebruiken om de resultaten te berekenen:
X2 + 2kx + C = 0
Merk op dat om deze vergelijking te veranderen in a trinominaalpleinPerfect, vervang gewoon de waarde van C door de waarde van k2. Aangezien dit een vergelijking is, is de enige manier om dit te doen het optellen van k2 op beide leden, en vervolgens de ledencoëfficiënt C omwisselen. Kijk maar:
X2 + 2kx + C = 0
X2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
X2 + 2kx + k2 = k2 -
Na deze procedure kunnen we doorgaan met de vorige techniek, het transformeren van de trinominaalpleinPerfect in opmerkelijk product en het berekenen van de vierkantswortels op beide ledematen.
X2 + 2kx + k2 = k2 -
(x + k)2 = k2 -
√[(x + k)2] = √(k2 - )
x + k = ± √(k2 - )
Het ± teken verschijnt wanneer het resultaat van a vergelijking is een vierkantswortel, want in deze gevallen is het resultaat van de vierkantswortel a module, zoals weergegeven in het eerste voorbeeld. Tot slot hoeft u alleen nog het volgende te doen:
x = – k ± √(k2 - )
Dus deze vergelijkingen heb twee resultaten echt en onderscheiden, of geen echt resultaat wanneer C > k2.
Bijvoorbeeld, bereken de wortels van x2 + 6x + 8 = 0.
Oplossing: Merk op dat 6 = 2·3x. Dus k = 3 en dus k2 = 9. Daarom is het getal dat we in beide leden moeten optellen gelijk aan 9:
X2 + 6x + 8 = 0
X2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
X2 + 6x + 9 = 9 - 8
X2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
√[(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1 - 3
x’ = 1 – 3 = – 2
x’’ = – 1 – 3 = – 4
In dat geval is de coëfficiënt a ≠ 1
wanneer de coëfficiënt De, geeft vergelijking van tweedemate, is anders dan 1, deel gewoon de hele vergelijking door de numerieke waarde van de coëfficiënt De om vervolgens een van de twee voorgaande methoden toe te passen.
Dus, in de 2x vergelijking2 + 32x + 128 = 0, we hebben de unieke wortel gelijk aan 8, omdat:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
X2 + 16x + 64 = 0
En, in de 3x vergelijking2 + 18x + 24 = 0, we hebben de wortels – 2 en – 4, want:
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
X2 + 6x + 8 = 0
Door Luiz Paulo Moreira
Afgestudeerd in wiskunde
