Algebra het is de tak van de wiskunde die rekenkunde generaliseert. Dit betekent dat concepten en bewerkingen uit de rekenkunde (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen enz.) zullen worden getest en hun effectiviteit zal worden bewezen voor alle nummers die tot bepaalde sets behoren numeriek.
Werkt de bewerking "optellen" bijvoorbeeld echt op alle getallen die tot de verzameling natuurlijke getallen behoren? Of is er een heel groot natuurlijk getal, bijna oneindig, dat zich anders gedraagt dan andere wanneer ze bij elkaar worden opgeteld? Het antwoord op deze vraag wordt gegeven door algebra: Eerst wordt de verzameling natuurlijke getallen gedefinieerd en voegt de bewerking toe; dan is bewezen dat de optelbewerking werkt voor elk natuurlijk getal.
ONS algebra studies, worden letters gebruikt om getallen weer te geven. Deze letters kunnen onbekende getallen vertegenwoordigen of elk nummer dat tot een numerieke set behoort. Als x bijvoorbeeld een even getal is, dan kan x 2, 4, 6, 8, 10,... Op deze manier is x een willekeurig getal behorend tot de verzameling even getallen en is het duidelijk wat voor soort getal x is: een veelvoud van 2.
Eigenschappen van wiskundige bewerkingen
Wetende dat elk getal dat tot een reeks behoort, kan worden weergegeven door een letter, beschouw de getallen x, y en z als behorend tot de reeks getallen. echt en de operaties toevoeging en vermenigvuldiging weergegeven door respectievelijk “+” en “·”. De volgende eigenschappen zijn dus geldig voor x, y en z:
1 - Associativiteit
(x + y) + z = x + (y + z)
(x·y)·z = x·(y·z)
2 – Commutativiteit
x + y = y + x
x·y = y·x
3 – Bestaan van een neutraal element (1 voor vermenigvuldigen en 0 voor optellen)
x + 0 = x
x·1 = x
4 – Bestaantegengesteld (of symmetrisch) element.
x + (–x) = 0
X· 1 = 1
X
5 – Distributie (ook wel de distributieve eigenschap van vermenigvuldigen over optellen genoemd)
x·(y + z) = x·y + x·z
Deze vijf eigendommen zijn geldig voor alle reële getallen x, y en z, aangezien deze letters werden gebruikt om elk reëel getal weer te geven. Ze zijn ook geldig voor optellen en vermenigvuldigen.
algebraïsche uitdrukkingen
In wiskunde, uitdrukking is een reeks wiskundige bewerkingen die met enkele getallen worden uitgevoerd. Bijvoorbeeld: 2 + 3 – 7 is een numerieke uitdrukking. Wanneer deze uitdrukking onbekende getallen (onbekenden) betreft, wordt deze genoemd algebraïsche uitdrukking. Een algebraïsche uitdrukking die slechts één term heeft, wordt een monomium genoemd. Ieder algebraïsche uitdrukking dat het resultaat is van optellen of aftrekken tussen twee monomialen, wordt een polynoom genoemd.
algebraïsche uitdrukkingen, monomials en polynomen zijn voorbeelden van elementen die tot de algebra behoren, omdat ze zijn samengesteld uit bewerkingen die met onbekende getallen worden uitgevoerd. Onthoud dat een onbekend getal elk getal in een numerieke set kan vertegenwoordigen.
vergelijkingen
vergelijkingen zij zijn algebraïsche uitdrukkingen die een gelijkheid hebben. Dus, vergelijking het is een inhoud van de wiskunde die getallen relateert aan onbekenden door middel van een gelijkheid.
De aanwezigheid van het onbekende is wat de classificeert vergelijking als algebraïsche uitdrukking. De aanwezigheid van gelijkheid maakt het mogelijk om de oplossing van een vergelijking te vinden, dat wil zeggen de numerieke waarde van het onbekende.
Voorbeelden
1) 2x + 4 = 0
2) 4x - 4 = 19 - 8x
3) 2x2 + 8x – 9 = 0
Rollen
De formele definitie van functie is als volgt: bezetting het is een regel die elk element van een verzameling relateert aan een enkel element van een tweede verzameling.
Deze regel wordt wiskundig weergegeven door een algebraïsche uitdrukking die een gelijkheid heeft, maar die het onbekende met het onbekende verbindt. Dit is het verschil tussen een functie en een vergelijking: de vergelijking relateert een onbekende aan een vast getal; Bij bezetting, het onbekende vertegenwoordigt een hele numerieke set. Om deze reden worden onbekenden binnen functies variabelen genoemd, omdat ze elke waarde kunnen aannemen binnen de set die ze vertegenwoordigen.
Omdat het om algebraïsche uitdrukkingen gaat, bezetting het is ook een inhoud die tot Algebra behoort, aangezien de letters elk getal vertegenwoordigen dat tot een reeks getallen behoort.
Voorbeelden:
1) Beschouw de functie y = x2, waarbij x een is echt nummer.
In deze bezetting, de variabele x kan elke waarde aannemen binnen de verzameling reële getallen. Aangezien de regel die de getallen die door x worden voorgesteld, verbindt met de getallen die door y worden voorgesteld, een wiskundige basisbewerking is, dus y staat ook voor reële getallen. Het enige detail hiervan is dat y in deze functie geen negatief reëel getal kan vertegenwoordigen, aangezien y het resultaat is van een exponentmacht van 2, wat altijd een positief resultaat zal hebben.
2) Beschouw de functie y = 2x, waarbij x a. is natuurlijk nummer.
In deze bezetting, kan de variabele x elke waarde aannemen binnen de verzameling natuurlijke getallen. Deze getallen zijn de positieve gehele getallen, dus de waarden die y kan aannemen zijn natuurlijke veelvouden van 2. Op deze manier is y een vertegenwoordiger van de verzameling even getallen.
Van klassieke algebra naar abstracte algebra
De tot dusver opgesomde concepten vormen de klassieke algebra. Dit deel van de algebra is meer verbonden met verzamelingen natuurlijke, gehele, rationele, irrationele, reële en complexe getallen en wordt zowel in het basis- als in het hoger onderwijs bestudeerd. Het andere deel van de algebra, ook wel abstract genoemd, bestudeert dezelfde structuren, maar dan voor alle verzamelingen.
Dus, gegeven elke set, met alle elementen (getallen of niet), is het mogelijk om een bewerking "optellen", een bewerking te definiëren "vermenigvuldiging" en controleer het bestaan of niet van de eigenschappen van deze bewerkingen, evenals de geldigheid van "vergelijkingen", "functies", "veeltermen" enz.
Door Luiz Paulo Moreira
Afgestudeerd in wiskunde
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-algebra.htm