De stelling van D'Alembert is een onmiddellijk gevolg van de reststelling, die betrekking heeft op de deling van polynoom door binomiaal van het type x - a. De reststelling zegt dat een polynoom G(x) gedeeld door een binomiaal x - a rest R gelijk aan P(a) zal hebben, voor
x = een. De Franse wiskundige D'Alembert bewees, rekening houdend met de hierboven aangehaalde stelling, dat een polynoom elke Q(x) is deelbaar door x – a, dat wil zeggen dat de rest van de deling gelijk is aan nul (R = 0) als P(a) = 0.
Deze stelling maakte het gemakkelijker om de deling van polynoom door binomiaal (x –a) te berekenen, dus het is niet nodig om de hele deling op te lossen om te weten of de rest gelijk is aan of verschilt van nul.
voorbeeld 1
Bereken de rest van de deling (x2 + 3x – 10): (x – 3).
Zoals de stelling van D'Alembert zegt, zal de rest (R) van deze deling gelijk zijn aan:
P(3) = R
32 + 3 * 3 – 10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Dus de rest van deze divisie zal 8 zijn.
Voorbeeld 2
Controleer of x5 – 2x
Volgens D'Alembert is een polynoom deelbaar door een binomiaal als P(a) = 0.
P(1) = (1)5 – 2*(1)4 + (1)3 + (1) – 2
P(1) = 1 - 2 + 1 + 1 - 2
P(1) = 3 - 4
P(1) = – 1
Aangezien P(1) niet nul is, zal de polynoom niet deelbaar zijn door de binomiaal x – 1.
Voorbeeld 3
Bereken de waarde van m zodat de rest van de deling van de polynoom
P(x) = x4 – mx3 + 5x2 + x – 3 bij x – 2 is 6.
We hebben dat, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6
P(2) = 24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3
24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3 = 6
16 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6
– 8m = 6 – 38 + 3
– 8m = 9 – 38
– 8m = – 29
m = 29/8
Voorbeeld 4
Bereken de rest van de deling van de 3x polynoom3 + x2 – 6x + 7 bij 2x + 1.
R = P(x) → R = P(– 1/2)
R = 3*(–1/2)3 + (–1/2)2 – 6*(–1/2) + 7
R = 3*(–1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8
door Mark Noah
Afgestudeerd in wiskunde
Brazilië School Team
Veeltermen - Wiskunde - Brazilië School
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm