DE rekenkundige progressie (AP) is numerieke volgorde die we gebruiken om het gedrag van bepaalde verschijnselen in de wiskunde te beschrijven. In een PA, de groei of verval is altijd constant, dat wil zeggen, van de ene term naar de andere, het verschil zal altijd hetzelfde zijn, en dit verschil staat bekend als reden.
Als gevolg van de voorspelbaar gedrag van een progressie, je kunt het beschrijven met een formule die bekend staat als algemene term. Om dezelfde reden is het ook mogelijk om de som van de termen van een PA te berekenen met een specifieke formule.
Lees ook: Geometrische progressie - hoe te berekenen?
Wat is een PA?
Begrijpen dat een PA een reeks termen is waarin de het verschil tussen een term en de vorige is altijd constant, om deze progressie van een formule te beschrijven, moeten we de beginterm vinden, of dat wil zeggen, de eerste term van een progressie, en de reden, dat is dit constante verschil tussen de voorwaarden.
Over het algemeen is de PA als volgt geschreven:
(De1, een2,De3, een4,De5, een6,De7, een8)
De eerste term is de a1 en, van daaruit, naar de toevoegen de reden r, laten we de opvolgervoorwaarden zoeken.
De1 + r = a2
De2 + r = a3
De3 + r = a4
...
Dus om de rekenkundige progressie te schrijven, moeten we weten wie de eerste term is en waarom.
Voorbeeld:
Laten we de eerste zes termen van een AP schrijven, wetende dat de eerste term 4 is en de verhouding gelijk is aan 2. de. kennen1 =4 en r = 2, concluderen we dat deze progressie begint bij 4 en toeneemt van 2 naar 2. Daarom kunnen we de voorwaarden ervan beschrijven.
De1 = 4
De2 = 4+ 2 = 6
De3 = 6 + 2 = 8
De4 = 8 + 2 = 10
De5= 10 + 2 = 12
De6 = 12 + 2 =14
Deze BP is gelijk aan (4,6,8,10,12,14 …).
Algemene looptijd van een PA
Door de PA te beschrijven vanuit een formule, kunnen we gemakkelijk een van de termen vinden. Om een term van een AP te vinden, gebruiken we de volgende formule:
DeNee=a1 + r·(n-1) |
N→ is de positie van de term;
De1→ is de eerste term;
r → reden.
Voorbeeld:
Vind het algemene looptijd van de PA (1,5,9,13,…) en de 5e, 10e en 23e termijn.
1e stap: de reden vinden.
Om de verhouding te vinden, berekent u eenvoudig het verschil tussen twee opeenvolgende termen: 5 – 1 = 4; dan, in dit geval, r = 4 .
2e stap: zoek de algemene term.
Hoe weten we dat de1= 1 en r = 4, laten we de formule vervangen.
DeNee=a1 + r (n - 1)
DeNee=1 + 4 (n - 1)
DeNee=1 + 4n - 4
DeNee= 4n – 3 → algemene term van PA
3e stap: als we de algemene term kennen, berekenen we de 5e, 10e en 23e term.
5e term → n = 5
DeNee=4n - 3
De5=4·5 – 3
De5=20 – 3
De5=17
10e term → n = 10
DeNee=4n - 3
De10=4·10 – 3
De10=40 – 3
De10=37
23e term → n = 23
DeNee=4n - 3
De23=4·23 – 3
De23=92 – 3
De23=89
Soorten rekenkundige progressies
Er zijn drie mogelijkheden voor een PA. Het kan stijgend, dalend of constant zijn.
Groeien
Zoals de naam al doet vermoeden, neemt een rekenkundige progressie toe wanneer, naarmate de termen toenemen, neemt ook hun waarde toe., dat wil zeggen, de tweede term is groter dan de eerste, de derde is groter dan de tweede, enzovoort.
De1 < naar2 < naar3 < naar4 < …. Nee
Om dit te laten gebeuren, moet de verhouding positief zijn, dat wil zeggen, een PA neemt toe als r > 0.
Voorbeelden:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
aflopend
Zoals de naam al doet vermoeden, is een rekenkundige progressie dalend wanneer, naarmate de termen toenemen, neemt hun waarde af, dat wil zeggen, de tweede term is kleiner dan de eerste, de derde is kleiner dan de tweede, enzovoort.
De1 > de2 > de3 > de4 > …. >deNee
Om dit te laten gebeuren, moet de verhouding negatief zijn, dat wil zeggen, een PA neemt toe als r < 0.
Voorbeelden:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Constante
Een rekenkundige progressie is constant wanneer, naarmate de voorwaarden toenemen, blijft de waarde hetzelfde., dat wil zeggen, de eerste term is gelijk aan de tweede, die gelijk is aan de derde, enzovoort.
De1 = de2 = de3 = de4 = …. =aNee
Om een PA constant te laten zijn, moet de verhouding gelijk zijn aan nul, dat wil zeggen r = 0.
Voorbeelden:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
Zie ook: Product van de voorwaarden van een PG - wat is de formule?
Eigenschappen van een PA
1e eigendom
Gegeven elke term van een PA, de gemiddelde rekenkundig tussen zijn opvolger en voorganger is gelijk aan die termijn.
Voorbeeld:
Denk aan de progressie (-1, 2, 5, 8, 11) en de term 8. Het gemiddelde tussen 11 en 5 is gelijk aan 8, dat wil zeggen, de som van de opvolger met de voorganger van een getal in de PA is altijd gelijk aan dit getal.
2e eigendom
De som van equidistante termen is altijd gelijk.
Voorbeeld:
Som van termen van een PA
Stel dat we de zes hierboven getoonde BP-termen willen toevoegen: (16,13,10,7,4,1). We kunnen gewoon hun termen toevoegen - in dat geval zijn er weinig termen, het is mogelijk - maar als dat zo is een langere string, gebruik dan de eigenschap. We weten dat de som van equidistante termen altijd gelijk is, zoals we zagen in de eigenschap, dus als we dit uitvoeren één keer optellen en vermenigvuldigen met de helft van het aantal termen, we hebben de som van de eerste zes termen van de PAN.
Merk op dat we in het voorbeeld de som van de eerste en de laatste zouden berekenen, wat gelijk is aan 17, vermenigvuldigd met de helft van het aantal termen, dat wil zeggen 17 keer 3, wat gelijk is aan 51.
de formule van som van termen van een PA het werd ontwikkeld door de wiskundige Gauss, die deze symmetrie in rekenkundige reeksen realiseerde. De formule is als volgt geschreven:
zoNee → som van n elementen
De1 → eerste termijn
DeNee → laatste termijn
n → aantal termen
Voorbeeld:
Bereken de som van de oneven getallen van 1 tot 2000.
Resolutie:
We weten dat deze reeks een PA is (1,3,5, …. 1997, 1999). Het uitvoeren van de som zou veel werk zijn, dus de formule is best handig. Van 1 tot 2000 is de helft van de getallen oneven, dus er zijn 1000 oneven getallen.
Gegevens:
n→ 1000
De1 → 1
DeNee → 1999
Ook toegang: Som van een eindige PG - hoe het te doen?
Interpolatie van rekenkundige gemiddelden
Als je twee niet-opeenvolgende termen van een rekenkundige reeks kent, is het mogelijk om alle termen te vinden die tussen deze twee getallen vallen, wat we kennen als interpolatie van rekenkundige middelen.
Voorbeeld:
Laten we 5 rekenkundige gemiddelden tussen 13 en 55 interpoleren. Dat betekent dat er 5 getallen zijn tussen 13 en 55 en dat ze een opeenvolging vormen.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
Om deze cijfers te vinden, is het noodzakelijk om de reden te vinden. We kennen de eerste term (de1 = 13) en ook de 7e term (de7= 55), maar we weten dat:
DeNee = de1 + r ·(n – 1 )
Wanneer n = 7 → aNee= 55. We kennen ook de waarde van a1=13. Dus als we het in de formule vervangen, moeten we:
55 = 13 + r ·( 7 – 1 )
55 = 13 + 6r
55 - 13 = 6r
42 = 6r
r = 42:6
r = 7.
Als we de reden kennen, kunnen we termen vinden die tussen 13 en 55 liggen.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
opgeloste oefeningen
Vraag 1 - (Enem 2012) - Kaarten is een activiteit die het redeneren stimuleert. Een traditioneel spel is Solitaire, dat 52 kaarten gebruikt. Met de kaarten worden aanvankelijk zeven kolommen gevormd. De eerste kolom heeft één kaart, de tweede heeft twee kaarten, de derde heeft drie kaarten, de vierde heeft vier kaarten, enzovoort achtereenvolgens naar de zevende kolom, die zeven kaarten heeft, en wat de stapel vormt, de ongebruikte kaarten in de kolommen.
Het aantal kaarten waaruit de stapel bestaat is:
EEN) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E) 31.
Resolutie
alternatief B.
Laten we eerst het totale aantal kaarten berekenen dat is gebruikt. We werken met een AP waarvan de eerste term 1 is en de verhouding ook 1. Dus, als we de som van de 7 rijen berekenen, is de laatste term 7 en is de waarde van n ook 7.
Wetende dat het totale aantal gebruikte kaarten 28 was en dat er 52 kaarten zijn, wordt de stapel gevormd door:
52 - 28 = 24 kaarten
Vraag 2 - (Enem 2018) Het stadhuis van een kleine stad in het binnenland besluit palen voor verlichting rond de langs een rechte weg die begint op een centraal plein en eindigt bij een boerderij in de omgeving. landelijk. Omdat het plein al verlichting heeft, wordt de eerste paal op 80 meter van het plein geplaatst, de tweede op 100 meter, de derde op 120 meter, enzovoort. achtereenvolgens steeds een afstand van 20 meter tussen de palen aanhouden, totdat de laatste paal op een afstand van 1380 meter van de plein.
Als de stad maximaal R$ 8.000,00 per geplaatst bericht kan betalen, is het hoogste bedrag dat u aan het plaatsen van deze berichten kunt besteden:
A) BRL 512 000,00.
B) BRL 520.000,00.
C) R$ 528.000,00.
D) BRL 552.000,00.
E) BRL 584 000,00.
Resolutie
alternatief C.
We weten dat er om de 20 meter palen worden geplaatst, dat wil zeggen r = 20, en dat de eerste term van deze PA 80 is. We weten ook dat de laatste term 1380 is, maar we weten niet hoeveel termen er zijn tussen 80 en 1380. Om dit aantal termen te berekenen, gebruiken we de algemene termformule.
Gegevens: eenNee = 1380; De1=80; en r = 20.
DeNee=a1 + r·(n-1)
Er worden 660 berichten geplaatst. Als elk maximaal R$ 8.000 kost, is het hoogste bedrag dat kan worden besteed aan het plaatsen van deze berichten:
66· 8 000 = 528 000
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm
