Driehoekige matrix: typen, determinant, oefeningen

Een matrix is ​​driehoekig wanneer elementen boven de hoofddiagonaal of elementen onder de hoofddiagonaal allemaal nul zijn. Er zijn twee mogelijke classificaties voor dit type matrix: de eerste is wanneer de elementen boven de hoofddiagonaal nul zijn, wat een lagere driehoekige matrix vormt; de tweede is wanneer de elementen onder de hoofddiagonaal nul zijn, waardoor een bovenste driehoekige matrix ontstaat.

Om de determinant van een driehoekige matrix te berekenen met de regel van Sarrus, voert u gewoon de hoofddiagonaalvermenigvuldiging uit, aangezien de andere vermenigvuldigingen allemaal gelijk zijn aan nul.

Lees ook: Array — wat het is en bestaande typen

De driehoekige matrix is ​​een bijzonder geval van matrix.

Driehoekige matrixtypen

Om te begrijpen wat een driehoekige matrix is, is het belangrijk om te onthouden wat de hoofddiagonaal van een vierkante matrix is, de matrix met hetzelfde aantal rijen en kolommen. De hoofddiagonaal van de matrix zijn de termen a._ij, waarbij i = j, dat wil zeggen, het zijn de termen waarin het rijnummer gelijk is aan het kolomnummer.

Voorbeeld:

De termen op de hoofddiagonaal zijn rood gemarkeerd.

Als u begrijpt wat een vierkante matrix is ​​en wat de hoofddiagonaal is, laten we eens kijken wat een driehoekige matrix is ​​en wat de classificaties ervan zijn. Er zijn twee mogelijke classificaties voor de driehoekige matrix: Deonderste driehoekige matrix en bovenste driehoekige matrix.

• Onderste driehoekige matrix: treedt op wanneer alle termen boven de hoofddiagonaal gelijk zijn aan nul en de termen onder de hoofddiagonaal zijn echte getallen.

Numeriek voorbeeld:

• Bovenste driehoekige matrix: treedt op wanneer alle termen onder de hoofddiagonaal gelijk zijn aan nul en de termen boven de hoofddiagonaal reële getallen zijn.

Numeriek voorbeeld:

diagonale matrix

De diagonale matrix is ​​​​a ​​ bijzonder geval van driehoekige matrix. Daarin zijn de enige termen die niet nul zijn die in de hoofddiagonaal. De termen boven of onder de hoofddiagonaal zijn allemaal gelijk aan nul.

Numerieke voorbeelden van diagonale matrix:

Determinant van een driehoekige matrix

Gegeven een driehoekige matrix, bij het berekenen van de determinant van deze matrix door De regel van Sarrus, kun je zien dat alle vermenigvuldigingen gelijk zijn aan nul, behalve de vermenigvuldiging van de term van de hoofddiagonaal.

det (A) = a₁₁ · een₂₂· een₃₃ + de₁₂ · een₂₃ · 0 + de₁₃ · 0 · 0 - ( De₁₃ ·De₂₃ ·0 + de₁₁ · een₂₃ · 0 + de₁₂ · 0· een₃₃)

Merk op dat in alle termen behalve de eerste, nul een van de factoren is, en alles vermenigvuldiging door nul is gelijk aan nul, dus:

det (A) = a₁₁ · een₂₂· een₃₃

Merk op dat dit het product is tussen de termen van de hoofddiagonaal.

Ongeacht het aantal rijen en kolommen dat een driehoekige matrix heeft, zijn determinant zal altijd gelijk zijn aan het product van de termen van de hoofddiagonaal.

Zie ook: Determinant — kenmerk toegepast op vierkante matrices

Eigenschappen driehoekige matrix

De driehoekige matrix heeft een aantal specifieke eigenschappen.

• 1e eigendom: de determinant van een driehoekige matrix is ​​gelijk aan het product van de termen van de hoofddiagonaal.
• 2e eigendom: het product tussen twee driehoekige matrices is een driehoekige matrix.
• 3e eigendom: als een van de termen van de hoofddiagonaal van de driehoekige matrix gelijk is aan nul, dan zal de determinant gelijk zijn aan nul en bijgevolg niet inverteerbaar.
• 4e woning: de inverse matrix van een driehoekige matrix is ​​ook een driehoekige matrix.
• 5e eigendom: de som van twee bovenste driehoekige matrices is een bovenste driehoekige matrix; evenzo is de som van twee lagere driehoekige matrices een lagere driehoekige matrix.

opgeloste oefeningen

1) Gegeven de matrix A is de waarde van de determinant van A:

a) 2

b) 0

c) 9

d) 45

e) 25

Resolutie

alternatief d.

Deze matrix is ​​​​onder driehoekig, dus de bepalende factor is de vermenigvuldiging van termen op de hoofddiagonaal.

det (A) = 1·3·3·1·5 = 45

2) Beoordeel de volgende uitspraken.

I → Elke vierkante matrix is ​​driehoekig.

II → De som van een bovenste driehoekige matrix met een onderste driehoekige matrix is ​​altijd een driehoekige matrix.

III → Elke diagonale identiteitsmatrix is ​​een driehoekige matrix.

De juiste volgorde is:

a) V, V, V.

b) F, F, F.

c) F, V, F.

d) F, F, V.

e) V, V, F.

Resolutie

alternatief d.

I → Onwaar, want elke driehoekige matrix is ​​vierkant, maar niet elke vierkante matrix is ​​driehoekig.

II → Onwaar, omdat de som tussen een bovenste en onderste driehoekige matrix niet altijd resulteert in een driehoekige matrix.

III → Waar, aangezien de termen die verschillen van de diagonaal gelijk zijn aan nul.

Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar

Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm