Arrangement met herhaling: wat is het, formule, voorbeelden

We weten hoe arrangement herhalen, of arrangement compleet maken, alle geordende hergroeperingen die we kunnen vormen met k elementen van een set met Nee elementen, met een element van Nee kan meer dan eens voorkomen. DE combinatorische analyse het is het gebied van de wiskunde dat teltechnieken ontwikkelt om het aantal mogelijke clusters in bepaalde situaties te vinden.

Onder deze groeperingen is er de opstelling met herhaling, bijvoorbeeld aanwezig in de wachtwoorden, kentekenplaten maken, tussen anderen. Om deze situaties op te lossen, passen we de rangschikkingsformule toe met herhaling als teltechniek. Er zijn verschillende formules voor het berekenen van de herhalende rangschikking en de niet-herhalende rangschikking, dus het is belangrijk om te weten hoe je elk van deze situaties kunt onderscheiden om de juiste teltechniek toe te passen.

Lees ook: Fundamenteel principe van tellen - hoofdconcept van combinatorische analyse

Wat is arrangement met herhaling?

Er is een regeling met herhaling in de productie van voertuigplaten. [1]

In ons dagelijks leven komen we situaties tegen waarin sequenties en groeperingen voorkomen, die in de kies wachtwoorden van sociale netwerken of bank, en ook in telefoonnummers of situaties waarbij: wachtrijen. Hoe dan ook, we worden omringd door situaties waarin deze groeperingen betrokken zijn.

Op kentekenplaten, die uit drie letters en vier cijfers bestaan, staat bijvoorbeeld een unieke reeks per staat die elk van de auto's identificeert, in dit geval werken we mee arrangementen. Wanneer het mogelijk is om de elementen te herhalen, werken we met het volledige arrangement of arrangement met herhaling.

Gegeven een set met Nee elementen, we kennen als arrangement met herhaling alle groeperingen waarmee we kunnen vormen k elementen hiervan set, waarbij een element meer dan eens kan worden herhaald. Op kentekenplaten van voertuigen is het bijvoorbeeld het aantal mogelijke kentekenplaten dat we kunnen vormen, rekening houdend met rekening houdend met het feit dat ze drie letters en vier cijfers hebben en dat de letters en cijfers kunnen worden herhaald.

Om het aantal mogelijke herhalingsarrangementen te berekenen, gebruiken we een heel eenvoudige formule.

Arrangementformule met herhaling

Voor het volledige arrangementbedrag van Nee verschillende elementen ontleend aan k in

Oh, in een gegeven situatie die herhaling van een element toelaat, gebruiken we de volgende formule:

LUCHT_Nee,_k = Nee^k

AR → arrangement met herhaling
Nee → aantal elementen in de set
k → aantal elementen dat zal worden gekozen

Zie ook: Eenvoudige combinatie - tel alle subsets van een bepaalde set

Hoe het herhalende arrangementnummer te berekenen

Zie het onderstaande voorbeeld om beter te begrijpen hoe u de formule voor herhalingsarrangementen kunt toepassen.

voorbeeld 1:

Een bankwachtwoord bestaat uit vijf cijfers die uitsluitend uit cijfers bestaan. Wat is het aantal mogelijke wachtwoorden?

We weten dat het wachtwoord een vijfcijferige reeks is en dat er geen beperking is op herhalingen, dus we zullen de rangschikkingsformule met herhaling toepassen. De gebruiker moet kiezen uit 10 cijfers, die elk van de vijf cijfers van dit wachtwoord vormen, dat wil zeggen, we willen de rangschikking berekenen met herhaling van 10 elementen die elke vijf worden genomen.

LUCHT_10,5 = 10⁵ = 10.000

Er zijn dus 10.000 wachtwoordmogelijkheden.

Voorbeeld 2:

Wetende dat kentekenplaten van voertuigen uit drie letters en vier cijfers bestaan, hoeveel kentekenplaten is het mogelijk om te vormen?

Ons alfabet bestaat uit 26 letters en er zijn 10 mogelijke getallen, dus laten we splitsen in twee volledige reeksen en het aantal mogelijke reeksen voor de letters en cijfers vinden.

LUCHT_26,3 = 26³ = 17.576
LUCHT₁₀,₄ = 10⁴ = 10.000

Het totaal van mogelijke arrangementen is dus:

17.576 · 10.000 = 1.757.600.000

Verschil tussen eenvoudig arrangement en herhalingsarrangement

Het onderscheiden van het eenvoudige arrangement van het arrangement met herhaling is essentieel voor het oplossen van problemen over het onderwerp. Het belangrijkste voor differentiatie is om te beseffen dat wanneer we te maken hebben met een situatie waarin er hergroeperingen zijn waarvan de volgorde belangrijk is, het van een arrangement, en als deze hergroeperingen herhaling tussen termen toestaan, is het een arrangement met herhaling, ook wel arrangement genoemd compleet. Wanneer de hergroepering geen herhaling toelaat, het gaat over een eenvoudige regeling.

De formule voor het eenvoudige arrangement is anders dan de formule die we gebruiken voor het herhalingsarrangement.

We hebben eerder voorbeelden gezien van het herhalen van een arrangement, bekijk nu een voorbeeld van een eenvoudig arrangement

Voorbeeld:

Paulo wil drie van zijn 10 schoolboeken op zijn plank zetten, allemaal verschillend van elkaar, op hoeveel manieren kan hij deze boeken ordenen?

Merk op dat in dit geval de volgorde belangrijk is, maar er zijn geen herhalingen, omdat het een eenvoudig arrangement is. Om het aantal mogelijke groeperingen te vinden, moeten we:

Lees de tekst voor meer informatie over deze andere vorm van groeperen die wordt gebruikt in combinatorische analyse: DEeenvoudige regeling.

Oefeningen opgelost:

Vraag 1 - (Enem) Een bank vroeg haar klanten om een ​​persoonlijk zescijferig wachtwoord aan te maken, dat alleen bestaat uit cijfers van 0 tot 9, om via internet toegang te krijgen tot de betaalrekening. Een specialist in elektronische beveiligingssystemen raadde het management van de bank echter aan om haar gebruikers opnieuw te registreren, met het verzoek om: elk van hen, de creatie van een nieuw wachtwoord met zes cijfers, waardoor het nu mogelijk is om de 26 letters van het alfabet te gebruiken, naast de cijfers van 0 tot 9. In dit nieuwe systeem werd elke hoofdletter als verschillend beschouwd van de kleine letterversie. Bovendien was het gebruik van andere soorten tekens verboden.

Een manier om een ​​wijziging in het wachtwoordsysteem te evalueren, is door de verbeteringscoëfficiënt te controleren, wat de reden is voor het nieuwe aantal wachtwoordmogelijkheden ten opzichte van de oude. De aanbevolen veranderingsverbeteringscoëfficiënt is:

Resolutie

alternatief A

Het oude wachtwoord is een reeks met herhalingen, omdat het uit alle getallen kan bestaan, dus het is een reeks van 10 elementen die elke zes worden genomen.

LUCHT_10,6 = 10⁶

Het nieuwe wachtwoord kan uit 10 cijfers bestaan ​​en ook uit hoofdletters (26 letters) en kleine letters (26 letters), dus het wachtwoord heeft voor elk cijfer een totaal van 10 + 26 + 26 = 62 mogelijkheden. Aangezien er zes cijfers zijn, zullen we de rangschikking berekenen met herhaling van 62 elementen die elke zes worden genomen.

LUCHT_62,6 = 62⁶

DE reden van het nieuwe aantal wachtwoordmogelijkheden in vergelijking met de oude is gelijk aan 62⁶/10⁶.

Vraag 2 - (Enem 2017) Een bedrijf gaat zijn website bouwen en hoopt een publiek van ongeveer een miljoen klanten aan te trekken. Om toegang te krijgen tot deze pagina heeft u een wachtwoord nodig met een formaat dat door het bedrijf wordt bepaald. Er zijn vijf formaatopties die door de programmeur worden aangeboden, beschreven in de tabel, waarbij "L" en "D" respectievelijk hoofdletter en cijfer vertegenwoordigen.

De letters van het alfabet, van de 26 mogelijke, evenals de cijfers van de 10 mogelijke, kunnen in elk van de opties worden herhaald.

Het bedrijf wil een formaatoptie kiezen waarvan het aantal mogelijke verschillende wachtwoorden groter is dan: verwacht aantal klanten, maar dat dit aantal niet groter is dan het dubbele van het verwachte aantal klanten.

Resolutie

Alternatieve E

Door elk van de mogelijkheden te berekenen, willen we het wachtwoord vinden met meer dan een miljoen mogelijkheden en minder dan twee miljoen mogelijkheden.

ik → LDDDDD

26 ·10⁵ groter is dan twee miljoen, dus het voldoet niet aan het verzoek van het bedrijf.

II → DDDDDD

10⁶ is gelijk aan een miljoen, dus het voldoet niet aan het verzoek van het bedrijf.

III → LLDDDD

26² · 10⁴ groter is dan twee miljoen, dus het voldoet niet aan het verzoek van het bedrijf.

IV → DDDDD

10⁵ is minder dan een miljoen, dus het voldoet niet aan het verzoek van het bedrijf.

V → LLLDD

26³ ·10² is tussen één miljoen en twee miljoen, dus deze wachtwoordsjabloon is ideaal.

Afbeelding tegoed

[1] Rafael Berlandi / Shutterstock

Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar

Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm