O punktu produkts starp diviem vektoriem ir reāls skaitlis, kas attiecas uz šo vektoru lielumu, tas ir, to garumu un leņķi starp tiem. Lai to aprēķinātu, tāpēc ir jāzina to garumi un izveidotais leņķis.
Izmantojot plakni kā pamatu, vektors norāda atrašanās vietu, intensitāti, virzienu un virzienu. Tādēļ to izmanto mehānikas (fizikas) pētījumos kā objektam pielietota spēka pārstāvi.
Parasti vektora attēlojums ir bulta, kas beidzas ar punktu. Šī punkta koordinātas tiek uzskatītas par vektora koordinātām, sākot no punkta O (0,0). Mēs to rakstām v = (a, b). Tādējādi vektors v = (1,2) tiek uzzīmēts šādi:
Vektoru piemērs, sākot ar izcelsmi
Lai aprēķinātu šī vektora garumu, ņemiet vērā tā izveidoto taisno trīsstūri un tā projekciju uz x ass (vai y ass), kā parādīts šajā attēlā:
Vektora garums v
Tiek saukts vektora v garums v vektora norma vai vektora modulis v un to attēlo | v |. Ņemiet vērā, ka vektora v = (a, b) norma ir tieši trīsstūra hipotenūzas mērs, kas attēlots attēlā iepriekš. Lai aprēķinātu šo mēru, mēs izmantojam Pitagora teorēmu:
| v |2 =2 + b2
| v | = √ (a2 + b2 )
Divu vektoru punktu produkts
Ņemot vērā divus vektorus u un v, iekšējo produktu starp tiem attēlo un ir definēts kā:
= | u || v | · cosθ
Tas ir sava veida reizinājums starp diviem vektoriem, tomēr to nesauc par reizinājumu, jo tas nav kopīgs reizinājums, jo tas ietver leņķi, ko veido šie divi vektori.
Leņķis starp diviem vektoriem
Pirmais rezultāts, kas izriet no iepriekš minētās definīcijas, ir leņķis starp diviem vektoriem. Izmantojot reālos skaitļus “punktu reizinājums”, “u vektoru norma” un “v vektoru norma”, ir iespējams aprēķināt leņķi starp vektoriem u un v. Lai to izdarītu, vienkārši veiciet aprēķinus:
= | u || v | · cosθ
= cosθ
| u || v |
Tāpēc, dalot iekšējo reizinājumu ar vektoru u un v normām, mēs atrodam reālo skaitli, kas attiecas uz kosinusu starp šiem diviem vektoriem un līdz ar to arī leņķi starp tiem.
Ņemiet vērā, ka, ja leņķis starp diviem vektoriem ir taisns, cosθ ir vienāds ar nulli. Tāpēc iepriekšminētajam produktam būs šāds rezultāts:
= 0
No tā var secināt, ka, ņemot vērā divus vektorus u un v, tie būs ortogonāli, ja = 0.
Iekšējais produkts, kas aprēķināts pēc vektoru koordinātām
Ņemot vērā divus vektorus u = (a, b) un v = (c, d), punktu punktu starp u un v izsaka šādi:
= = a · c + b · d
Iekšējās produkta īpašības
Ņemot vērā vektorus u, v un w un reālo skaitli α, ņemiet vērā:
i) =
Tas nozīmē, ka vektoru iekšējais produkts ir “komutatīvs”.
ii) = +
Šis īpašums ir salīdzināms ar reizināšanas izplatību pār saskaitīšanu.
iii) = = α
Iekšējā reizinājuma starp u un v aprēķināšana, reizināta ar reālo skaitli α, ir tāda pati kā iekšējā reizinājuma aprēķināšana starp αv un u vai starp v un αu.
iv)
V iekšējais reizinājums ar v ir tikai nulle, ja v ir nulles vektors.
v)
V iekšējais reizinājums ar v vienmēr būs lielāks vai vienāds ar nulli.
Autors Luizs Paulo Moreira
Beidzis matemātiku
Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produto-interno-entre-dois-vetores.htm
