Visi esošie skaitļi tika izveidoti atbilstoši cilvēku vajadzībām radīšanas laikā, kā tas ir dabisko skaitļu gadījumā, kas tika izveidoti, lai uzskaitītu un kontrolētu "krājumus", un iracionālus skaitļus, kas tika izveidoti, lai atrisinātu problēmas saistībā ar saknes. Tieši problēmas, kas saistītas ar saknēm, aizsāka zināšanas par kompleksie skaitļi.
Kvadrātvienādojums x2 + 4x + 5 = 0 nav reālu sakņu. Tas nozīmē, ka reālo skaitļu kopas ietvaros nav iespējams atrast x vērtības, kas ir vienādas ar šī vienādojuma pirmo terminu ar otro. Mēs novērojam šo fenomenu no Bhaskaras formulas sākuma:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Kad Δ ir atrasta negatīva vērtība, kļūst neiespējami turpināt izmantot Bhaskaras formulu, jo tas prasa aprēķināt √Δ (delta sakne). Tagad mēs zinām, ka √– 4 nevar aprēķināt, jo nav reāla skaitļa, kas, reizinot pats par sevi, iegūtu - 4.
Lai apmierinātu šīs vajadzības, tika izveidoti kompleksi skaitļi. Kopš tā izveides √– 4 var izstrādāt šādi:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
A √ (- 1) saprot kā jauna veida numuru. Visu šo skaitļu kopa ir pazīstama kā komplekso skaitļu kopa, un katrs šīs jaunās kopas pārstāvis tiek definēts šādi: Ļaujiet A būt kompleksam skaitlim,
A = The + Bi, kur Theun B ir reālie skaitļi un i = √ (- 1)
Šajā definīcijā The Tas ir pazīstams kā īstā A daļa un B Tas ir pazīstams kā iedomātā A daļa.
Komplekso skaitļu īpašības
Reālie skaitļi kopumā un ģeometriski apzīmē līniju. Kompleksie skaitļi savukārt apzīmē visu plakni. Dekarta plakne, ko izmanto, lai attēlotu kompleksos skaitļus, ir pazīstama kā Arganda-Gausa plakne.
Katru komplekso skaitli var attēlot Arganda-Gausa plaknē kā koordinātu punktu (a, b). Attālumu no punkta, kas apzīmē komplekso skaitli, līdz punktam (0,0) sauc par kompleksa skaitļa moduli., kas ir definēts:
Ļaujiet A = a + bi būt kompleksam skaitlim, tā modulis ir | A | = a2 + b2
Kompleksiem skaitļiem ir arī apgriezts elements, ko sauc par konjugātu. To definē kā:
Ļaujiet A = a + bi būt kompleksam skaitlim,
Ā = a - bi ir šī skaitļa konjugāts.
1. īpašums: Kompleksā skaitļa un tā konjugāta reizinājums ir vienāds ar kompleksa skaitļa reālās un iedomātās daļas kvadrātu summu. Matemātiski:
AĀ = a2 + b2
Piemērs: Kāds ir A = 2 + 5i produkts no tā konjugāta?
Vienkārši veiciet aprēķinu: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Ja mēs izvēlētos rakstīt A konjugātu un pēc tam veikt A reizinājumu, mums būtu:
AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)
AĀ = 4 - 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
Tas ir, izmantojot piedāvāto īpašumu, šo aprēķinu laikā ir iespējams izvairīties no ilga aprēķina, kā arī no kļūdām.
2. īpašums: Ja kompleksais skaitlis A ir vienāds ar tā konjugātu, tad A ir reāls skaitlis.
Ļaujiet A = a + bi. Ja A = Ā, tad:
a + bi = a - bi
bi = - bi
b = - b
Tāpēc b = 0
Tāpēc ir obligāti, ka katrs kompleksais skaitlis, kas vienāds ar tā konjugātu, ir arī reāls skaitlis.
3. īpašums: Divu komplekso skaitļu summas konjugāts ir vienāds ar šo skaitļu konjugātu summu., tas ir:
_____ _ _
A + B = A + B
Piemērs: Kāds ir 7 + 9i un 2 + 4i summas konjugāts?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i
Vispirms varat pievienot un pēc tam aprēķināt rezultāta konjugātu vai vispirms veikt konjugātus un pēc tam pievienot rezultātus vēlāk.
4. īpašums: Produkta konjugāts starp diviem kompleksiem skaitļiem ir vienāds ar to konjugātu reizinājumu, t.i .:
__ _ _
AB = A · B
Piemērs: Kāds ir A = 7i + 10 un B = 4 + 3i konjugātu produkts?
(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 - 7i) · (4 - 3i) = 40 - 30i - 28i - 21 = 19 - 58i
Atkarībā no vingrinājuma nepieciešamības ir iespējams vispirms reizināt un pēc tam aprēķināt konjugātu, vai arī konjugātus attēlot pirms reizināšanas veikšanas.
5. īpašums: Kompleksā skaitļa A un tā konjugāta reizinājums ir vienāds ar A moduļa kvadrātu, t.i .:
AĀ = | A |2
Piemērs: A = 2 + 6i, tad AĀ = | A |2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Ņemiet vērā, ka nav nepieciešams atrast konjugātu un veikt reizināšanu, izmantojot reizināšanas izplatīšanas īpašību salīdzinājumā ar pievienošanu (pazīstams kā mazais dušas galva).
6. īpašums: Kompleksa skaitļa modulis ir vienāds ar tā konjugāta moduli. Citiem vārdiem sakot:
| A | = | Ā |
Piemērs: atrodiet kompleksa A = 3 + 4i konjugāta moduli.
Ņemiet vērā, ka nav nepieciešams atrast konjugātu, jo moduļi ir vienādi.
| A | = √ (a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Ja aprēķinātu | Ā |, vienīgās izmaiņas būtu a B negatīvs kvadrātā, kam ir pozitīvs rezultāts. Tādējādi rezultāts joprojām būtu 25 sakne.
7. īpašums: Ja A un B ir kompleksi skaitļi, tad A un B moduļa reizinājums ir vienāds ar A un B reizinājuma moduli., t.i.
| AB | = | A || B |
Piemērs: Ļaujiet A = 6 + 8i un B = 4 + 3i, cik ir | AB |?
Ņemiet vērā, ka pirms moduļa aprēķināšanas nav nepieciešams reizināt kompleksus skaitļus. Ir iespējams aprēķināt katra kompleksa skaitļa moduli atsevišķi un pēc tam vienkārši reizināt rezultātus.
| A | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
| B | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
| AB | = | A || B | = 10,5 = 50
Autors Luizs Paulo Moreira
Beidzis matemātiku
Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm