kombinatoriskā analīze ir matemātikas studiju joma, kas saistīta ar skaitīšanas likumiem. 18. gadsimta sākumā spēļu, kurās piedalījās kauliņi un kārtis, izpēte izraisīja skaitīšanas teoriju lielu attīstību.
Kombinatorikas darbs ļauj realizēt arvien precīzākus skaitījumus.Skaitīšanas pamatprincips (PFC), faktoriāls un grupēšanas veidi ir kombinatoriskajā analīzē pētīto jēdzienu piemēri, kas papildus nodrošināšanai lielāks precizitāte palīdz Nēcitu matemātikas jomu attīstība, piemēram, The varbūtība un O Ņūtona binomāls.
Lasīt arī: vienošanās vai çkombinācija?
Kam domāta kombinatoriskā analīze?
Kombinatoriskā analīze ir saistīta ar skaitīšanas procesu, tas ir, šīs matemātikas jomas izpēte ļauj mums izstrādāt rīkus, kas mums palīdz veikt skaitās efektīvāk. Apskatīsim tipisku skaitīšanas problēmu, skatiet:
1. piemērs
Apsveriet trīs pilsētas A, B un C, kuras savieno maģistrāles R1, R2, R3, R4 un R5. Nosakiet, cik daudz veidu mēs varam nokļūt no pilsētas A uz pilsētu C caur pilsētu B.
Ņemiet vērā, ka mums jāatstāj pilsēta A un jādodas uz pilsētu B, un tikai tad mēs varam doties uz pilsētu C, tāpēc analizēsim visus iespējas lai veiktu pasākumu pēc lielceļiem.
1. veids: R1 → R3
2. veids: R1 → R4
3. veids: R1 → R5
4. veids: R2 → R3
5. veids: R2 → R4
6. veids: R2 → R5
Tātad mums ir seši dažādi veidi, kā caur pilsētu B nokļūt no pilsētas A uz pilsētu C. Tomēr ņemiet vērā, ka ierosinātā problēma ir salīdzinoši vienkārša un ka veiktā analīze bija maz darbietilpīga. Tātad no šī brīža mēs pētīsim sarežģītākus rīkus, kas ļauj atrisināt problēmas ar daudz mazāku darbu.
Skaitīšanas pamatprincips (PFC)
Apsveriet notikumu E, kuru var veikt n neatkarīgos un secīgos posmos. Tagad apsveriet, ka iespēju veikt pirmo soli ir vienāds ar P1, arī iedomājieties, ka iespēju veikt otro posmu ir P.2, un tā tālāk, līdz mēs sasniedzam pēdējo posmu, kurā ir PNē veicamās iespējas.
Skaitīšanas pamatprincips (PFC) nosaka, ka kopējās iespējas pasākuma rīkošanu E dod:
P1 · P2 ·… · PNē
Tādējādi kopsummu izsaka katra soļa, kas veido notikumu E, iespēju reizinājums. Ņemiet vērā, ka, lai noteiktu kopējās iespējas rīkot notikumu E, ir jāzina kopējās iespējas katram posmam.
2. piemērs
Atkārtosim 1. piemēru, izmantojot skaitīšanas pamatprincipu.
Apsveriet attēlu 1. piemērā.
Ņemiet vērā, ka pasākumu var vadīt divos posmos: pirmais notiek no pilsētas A uz pilsētu B, bet otrais - no pilsētas B uz pilsētu C. Lai veiktu pirmo soli, mums ir divas iespējas (ceļi R1 un R2), un, lai veiktu otro posmu, mums ir trīs iespējas (R3, R4 un R5).
1. solis → divas iespējas
2. posms → trīs iespējas
Pēc skaitīšanas pamatprincipa mums tas ir jādara vairoties katra soļa kopējās iespējas.
2 · 3
6
Tāpēc, lai pārietu no pilsētas A uz pilsētu C caur pilsētu B, mums ir kopumā sešas iespējas.
3. piemērs
Cik daudzos veidos var sadalīt trīs olimpiskās medaļas kalnu velosipēds ar pieciem konkurentiem?
Medaļu dalīšanas organizēšana ir pasākums, kuru var veikt trīs posmos. Pirmais solis ir analizēt kopējās iespējas, kas iegūs zelta medaļu, tas ir, pieci iespējas.
Otrais solis ir analizēt iespējas, kas iegūs sudraba medaļu, tas ir, četri, tā kā pirmā vieta neietilpst šajā izvēlē. Trešais solis ir analizēt kopējās iespējas, kas iegūs bronzas medaļu, tas ir, trīs, tā kā pirmie divi jau ir izvēlēti.
1. solis → piecas iespējas
2. posms → četras iespējas
3. posms → trīs iespējas
Tātad, ievērojot skaitīšanas pamatprincipu, mums ir:
5 · 4 · 3
60 iespējas
Skatīt arī: Piedevu skaitīšanas princips - viena vai vairāku kopu apvienošana
Faktoriāls
O faktoriāls ir veids sadalīt dabisko skaitli. Lai aprēķinātu skaitļa koeficientu, vienkārši reiziniet to ar visiem tā priekšgājējiem līdz skaitlim 1. Faktoriālu attēlo izsaukuma zīme - “!”.
Skatiet dažus piemērus, kā aprēķināt dažu skaitļu faktoriālu.
) 2! (skan: divi faktoriāli)
Lai aprēķinātu, vienkārši reiziniet skaitli, kas pavada faktoriālu, ar visiem tā priekšgājējiem līdz skaitlim 1, piemēram:
2! = 2 ·1 = 2
B) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
ç) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
d) 1! = 1
Formāli mēs varam rakstīt faktoriālu šādi:
Apsveriet dabisko skaitli n> 2. N faktoriālu norāda ar n! un tiek dota, reizinot n ar visiem tā pozitīvā veselā skaitļa priekštečiem.
Nē! = n (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) ·… · 1
Ievērojiet šādus faktorus:
4! un 5!
Tagad veiciet abu izstrādes:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Ņemiet vērā, ka izstrādājot 5! parādās attīstība 4!. Lai mēs varētu uzrakstīt 5! tādējādi:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
4. piemērs
Aprēķiniet faktoriālo sekgaudot:
Redzi, ka 15! tika izstrādāta līdz 13!. Ņemiet vērā arī to, ka frakcijas skaitītājā elementi tiek reizināti, tāpēc mēs varam “sagriezt” 13!, Kā rezultātā iegūst tikai 15 · 14.
Novērojums:0! = 1
Grupēšana veidi
Dažas skaitīšanas problēmas ir sarežģītākas un vieglāk atrisināmas, izmantojot jaunus rīkus. Šos rīkus sauc par grupēšanu, jo tie grupē elementus dažādos veidos, atvieglojot skaitīšanas procesu. Šīs grupas ir: vienkāršs izvietojums, permutācija un vienkārša kombinācija.
vienkāršs izvietojums
Apsveriet kopu ar n atšķirīgiem elementiem. sauksim to vienošanās no n elementi, kas ņemti no p līdz p, jebkura secība, kas sakārtota ar p, un atsevišķi elementi, kas izvēlēti starp elementiem.
Tādējādi apakškopu skaits, ko veido p elementi, būs n elementu izkārtojums, kas ņemts no p līdz p. Formulu, kas ļauj aprēķināt kārtojumu skaitu, sniedz:
5. piemērs
Aprēķiniet A vērtību4,2 + A5,2.
Lai aprēķinātu izteiksmes vērtību, noteiksim katru no masīviem un pēc tam pievienosim šīs vērtības kopā. Lai noteiktu katra masīva vērtību, mums formulā ir jāaizstāj vērtības.
Ņemiet vērā, ka n = 4 un p = 2, abi ir aizstāti formulā. Tagad mums jāaprēķina piecu elementu masīva vērtība, kas ņemti pa diviem.
Tātad mums ir:
4,2 + A5,2
12 + 20
32
6. piemērs
Cik daudz atšķirīgu četrciparu dabisko skaitļu var izveidot, izmantojot skaitļus 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 un 9?
Šajā uzdevumā mēs varam izmantot vienkāršo kārtojumu, jo 2435 ≠ 4235. Mēs redzēsim, ka dažos gadījumos elementu secība tos nediferencē, un tāpēc mēs nevaram izmantot izkārtojumu.
Tā kā mēs vēlamies noteikt visu veidojamo skaitļu kopumu, ievērojiet, ka elementu kopskaits ir vienāds ar astoņi, un mēs vēlamies tos grupēt pa četriem pa četriem, tātad:
vienkārša permutācija
Apsveriet kopu ar n elementiem. sauksim to vienkārša permutācija no n elementiem katrs n elementu izvietojums, kas ņemts no n līdz n. Tāpēc mums ir:
Lai starp jēdzieniem nebūtu sajaukšanas, n elementu vienkāršo permutāciju apzīmēsim ar PNē. Tāpēc mums ir:
PNē = n!
7. piemērs
Aprēķiniet P7 un P3.
Lai aprēķinātu šīs permutācijas, formulas vērtības ir jāaizstāj. Skaties:
P7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
P3 = 3 · 2 · 1
P3 = 6
8. piemērs
Nosakiet, cik daudz anagramu var būt vārdā Brazīlija.
Mēs saprotam kā anagrammu visas iespējamās vārda burtu transpozīcijas, piemēram, "Lisarb" ir a anagramma vārda Brazīlija. Lai noteiktu anagramu skaitu, mums jāaprēķina vārda burtu permutācija, tāpēc mums ir:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Tāpēc vārdam Brazīlija ir 720 anagramu.
Piekļūstiet arī: Permutācija ar atkārtotiem elementiem
vienkārša kombinācija
Apsveriet kopu A ar n atšķirīgiem elementiem. sauksim to kombinācija no n elementiem, kas ņemti no p līdz p jebkura A apakškopa, ko veido p elementi. Kombinācijas aprēķināšanas formulu sniedz:
9. piemērs
Aprēķiniet 10 elementu kombināciju, kas ņemti no četriem līdz četriem.
10. piemērs
Cik daudz četrstūri vai mēs varam veidot ar virsotnēm punktos A, B, C, D, E un F?
Ņemiet vērā, ka ABCD četrstūris šajā kontekstā ir tāds pats kā CDBA četrstūris, tāpēc mums vajadzētu izmantot kombināciju, nevis masīvus. Mums kopā ir seši punkti, un mēs vēlamies tos apvienot pa četriem pa četriem, šādi:
Tāpēc mēs varam veidot 15 atšķirīgus četrstūrus.
Kombinatoriskā analīze un varbūtība
Pētījums varbūtība ir cieši saistīta ar kombinatoriskās analīzes pētījumu.. Dažās varbūtības problēmās ir jānosaka izlases telpa, kas sastāv no kopas, kuru veido visi iespējamie konkrētā notikuma iznākumi.
Dažos gadījumos parauga telpa E ir ierakstīta ļoti tieši, tāpat kā godīgas monētas flipā, kur iespējamie rezultāti ir galvas vai astes un tiek apzīmēti šādi:
E = {galvas, astes}
Tagad iedomājieties šādu situāciju: matrica tiek izmesta trīs reizes pēc kārtas, un mēs esam ieinteresēti noteikt parauga vietu šim eksperimentam. Ņemiet vērā, ka visu iespēju pierakstīšana vairs nav vienkāršs uzdevums, mums jāizmanto skaitīšanas pamatprincips (PFC). Pasākumu var veikt trīs posmos, katrā no tiem mums ir sešas iespējas, jo matricai ir sešas sejas, piemēram:
1. posms → sešas iespējas
2. posms → sešas iespējas
3. posms → sešas iespējas
Saskaņā ar PFC mums ir tā, ka kopējās iespējas ir:
6 · 6 · 6
216
Tātad mēs varam teikt, ka šī notikuma parauga telpa ir 216.
Skatiet, ka varbūtības izpētei tā ir nepieciešamas pamatzināšanas par kombinatorisko analīzi., jo, nenosakot eksperimenta izlases telpu, nav iespējams atrisināt lielāko daļu varbūtības vingrinājumu. Lai iegūtu sīkāku informāciju par šo matemātikas jomu lasiet tekstu:Varbūtība.
atrisināti vingrinājumi
jautājums 1 - Nosakiet vārda pils anagramu skaitu. Pēc tam nosakiet anagramu skaitu, kas sākas ar c burtu.
Izšķirtspēja
Lai noteiktu anagramu skaitu, mums jāaprēķina burtu skaita permutācija šādi:
P7 = 7!
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
Vārdam ir 5040 anagramu. Tagad, lai noteiktu anagramu skaitu, kas sākas ar c burtu, mums jānosaka burts un jāaprēķina pārējo anagramma, skatiet:
Ç__ __ __ __ __ __
Kad mēs salabosim burtu c, ņemiet vērā, ka permutācijas aprēķināšanai ir palikuši seši lauki, piemēram:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Tātad mums ir 720 anagrammas no vārda pils, kas sākas ar c burtu.
2. jautājums - Klasē ir pieci vīrieši un septiņas sievietes. Cik var izveidot trīs vīriešu un četru sieviešu grupas?
Izšķirtspēja
Pirmkārt, pārliecinieties, ka kārtībai, kādā mēs izvēlamies cilvēkus, nav nozīmes, piemēram, João izveidotajai grupai, Markoss un Hosē ir tā pati grupa, kuru veido Markoss, Džoo un Hosē, tāpēc mums šī kombinācija jāizmanto aprēķins.
Aprēķināsim atsevišķi to grupu skaitu, kuras var veidot vīrieši un sievietes, un iekš Tad reizināsim šos rezultātus, jo katra vīriešu grupa var sajaukt ar katru grupu sievietes.
Vīrieši
Kopā → 5
Daudzums grupā → 3
Sievietes
Kopā → 7
Daudzums grupā → 4
Tāpēc kopējais grupu skaits, ko var izveidot trīs vīrieši un četras sievietes, ir:
Ç5,3 · Ç7,4
10 · 35
350
autors Robsons Luizs
Matemātikas skolotājs
Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm
