izpratne par komplekti ir galvenais pētījuma pamats algebra un matemātikā ļoti nozīmīgi jēdzieni, piemēram, funkcijas un nevienlīdzība. Apzīmējums, ko mēs izmantojam kopām, vienmēr ir lielais burts no mūsu alfabēta (piemēram, kopa A vai kopa B).
Runājot par komplektu attēlojums, to var izdarīt Venna diagramma, vienkārši aprakstot tā elementu īpašības, uzskaitot elementus vai aprakstot to īpašības. Strādājot ar problēmām, kas saistītas ar komplektiem, ir situācijas, kurās nepieciešama izpilde operācijas starp kopām, kas ir savienība, krustojums un atšķirība. Vai mēs to visu sīki izpētīsim?
Skatiet arī: Skaitliskas izteiksmes - iemācieties tās atrisināt!
Komplektu apzīmēšana un attēlojums
Kopas attēlošanai mēs vienmēr izmantojam a alfabēta lielais burts, un elementi vienmēr ir starp taustiņus un ir atdalīti ar komatu. Piemēram, lai attēlotu tādu pāra skaitļu kopu, kas ir lielāki par 1 un mazāki par 20, mēs izmantojam šādu apzīmējumu: P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Komplektu attēlojuma formas
pārstāvība, uzskaitot
: mēs varam uzskaitīt tā elementus, tas ir, izveidot sarakstu, vienmēr starp lencēm. Skatiet piemēru:
A = {1,5,9,12,14,20}
aprakstot pazīmes: mēs varam vienkārši aprakstīt kopas raksturojumu. Piemēram, ļaujiet X būt kopai, mums ir tas, ka X = {x ir pozitīvs skaitļa 5 reizinātājs}; Y: ir gada mēnešu kopums.
Venna diagramma: kopas var attēlot arī diagrammas formā, kas pazīstama kā a Venna diagramma, kas ir efektīvāka pārstāvība operāciju veikšanai.
Piemērs:
Ņemot vērā kopu A = {1,2,3,4,5}, mēs varam to attēlot šajā Venna diagrammā:
Kopas un dalības attiecību elementi
Ņemot vērā jebkuru elementu, mēs varam teikt, ka elements pieder uz kopu vai nepieder uz šo kopu. Lai ātrāk pārstāvētu šīs dalības attiecības, mēs izmantojam simbolus
(lasīt kā piederīgu) un ∉ (lasīt kā nepiederošu). Piemēram, lai P būtu kopa pāra numuri, mēs varam teikt, ka 7 ∉ P un ka 12 P.
Komplektu vienādība
Salīdzinājums starp kopām ir neizbēgams, tāpēc mēs varam teikt, ka divas kopas ir vienādas vai nē, pārbaudot katru tās elementu. Ļaujiet A = {0,1,3,4,8} un B = {8,4,3,1,0}, pat ja elementi ir citā secībā, mēs varam teikt, ka kopas A un B ir vienādas: A = B.
Iekļaušanas attiecības
Salīdzinot divas kopas, mēs varam sastapt vairākas attiecības, un viena no tām ir iekļaušanas attiecības. Šīm attiecībām mums jāzina daži simboli:
⊃ → satur ⊂→ ir ietverts
⊅ → nesatur ⊄→nav ietverts
Padoms: Simbola atvēršanas puse vienmēr būs vērsta pret lielāku kopu. |
Kad visi kopas A elementi pieder arī kopai B, mēs sakām, ka A ⊂ B vai ka A ir B. Piemēram, A = {1,2,3} un B = {1,2,3,4,5,6}. Ir iespējams arī veikt attēlojumu ar Venna diagramma, tas izskatītos šādi:
A ir iekļauts B:
A ⊂ B
Apakškopas
Kad iekļaušanas attiecības, tas ir, kopa A ir iekļauta komplektā B, mēs varam teikt, ka A ir B apakškopa. Apakškopa paliek kopa, un a komplektam var būt vairākas apakškopas, kas uzcelta no tai piederošajiem elementiem.
Piemēram: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} kā apakškopas ir kopas B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} un pat kopa A {1,2,3,4,5,6,7,8}, tas ir, A ir tās apakškopa.
vienotais komplekts
Kā jau norāda nosaukums, tas ir tas, kas to nosaka ir tikai viens elements, tāpat kā iepriekš parādītais komplekts D: {1}. Ņemot vērā kopu B: {1,2,3}, mums ir apakškopas {1}, {2} un {3}, kas visas ir vienību kopas.
UZMANĪBU: Kopa E: {0} ir arī vienota kopa, jo tai ir viens elements “0”, un tā nav tukša kopa.
Lasiet arī: Veselu skaitļu kopa - elementi un raksturlielumi
tukšs komplekts
Ar vēl aizdomīgāku nosaukumu tukšajai kopai nav elementu, un tā ir jebkura kopas apakškopa. Lai attēlotu tukšo kopu, ir divi iespējamie attēlojumi, tie ir V: {} vai simbols Ø.
Detaļu komplekti
Mēs kā daļu kopas zinām visas iespējamās noteiktā kopuma apakškopas. Ļaujiet A: {1,2,3,4}, mēs varam uzskaitīt visas šīs A kopas apakškopas, sākot ar kopām, kuras nav elementu (tukši), un tad tiem, kuriem ir viens, divi, trīs un četri elementi, attiecīgi.
tukšs komplekts: { };
Vienību komplekti: {1}; {2};{3}; {4}.
Komplekti ar diviem elementiem: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
komplekti ar trim elementiem: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Komplekts ar četriem elementiem: {1,2,3,4}.
Tāpēc mēs varam aprakstīt A daļu kopu šādā veidā:
P: {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}
Lai uzzinātu, cik daudz daļu ir iespējams sadalīt kopu, mēs izmantojam formulu:
n [P (A)] = 2Nē
A daļu skaitu aprēķina ar a potence 2. pamatne pacelta līdz Nē, uz ko Nē ir elementu skaits komplektā.
Apsveriet kopu A: {1,2,3,4}, kurai ir četri elementi. Šīs kopas iespējamo apakškopu kopsumma ir 24 =16.
Lasiet arī: Kāda ir iracionālo skaitļu kopa?
Galīgais un bezgalīgais komplekts
Strādājot ar kopām, mēs atrodam komplektus, kas ir ierobežots (ierobežots) un tie, kas ir neierobežots (bezgalīgs). Komplekts pāra vai nepāra skaitļi, piemēram, ir bezgalīgs, un, lai to attēlotu, mēs dažus tā elementus aprakstām secīgi, lai būtu iespējams paredzēt, kādi būs nākamie elementi, un mēs ieliksim elipses Fināls.
I: {1,3,5,7,9,11 ...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
Tomēr ierobežotā komplektā mēs neliekam elipses beigās, jo tai ir noteikts sākums un beigas.
A: {1,2,3,4}.
Visuma kopa
O Visuma kopa, apzīmēts ar U, tiek definēts kā kopums, ko veido visi elementi, kas jāņem vērā problēmas ietvaros. Katrs elements pieder Visuma kopai, un katrs kopums ir Visuma kopumā.
Darbības ar komplektiem
Darbības ar kopām ir: savienojums, krustojums un atšķirība.
Komplektu krustojums
Krustojums notiek, kad elementi vienlaikus pieder vienai vai vairākām kopām. Rakstot A∩B, mēs meklējam elementus, kas pieder gan A kopai, gan B kopai.
Piemērs:
Apsveriet A = {1,2,3,4,5,6} un B = {2,4,6,7,8}. Elementi, kas pieder gan kopai A, gan kopai B, ir: A∩B = {2, 4,6}. Šī darbība tiek attēlota šādi:
A∩B
Ja kopām nav kopīgu elementu, tās sauc par nesadalīti komplekti.
A∩B = Ø
atšķirība starp kopām
aprēķināt atšķirība starp diviem komplektiem ir meklēt elementus, kas pieder tikai vienam no diviem komplektiem. Piemēram, A - B kā atbilde ir kopa, kas sastāv no elementiem, kas pieder kopai A un nepieder pie kopas B.
Piemērs: A: {1,2,3,4,5,6} un B: {2,4,6,7,8}. Ņemiet vērā, ka A ∩ B = {2,4,6}, tāpēc mums ir:
a) A - B = {1,3,5}
b) B - A = {7,8}
Vienotība
Divu vai vairāku kopu savienojums ir pievienojoties jūsu noteikumiem. Ja ir elementi, kas atkārtojas abās kopās, tie tiek rakstīti tikai vienu reizi. Piemēram: A = {1,2,3,4,5} un B = {4,5,6,7,10,14}. Lai pārstāvētu savienību, mēs izmantojam simbolu (skan: savienība ar B).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Lai uzzinātu vairāk par šīm darbībām un pārbaudītu vairākus atrisinātus vingrinājumus, lasiet: Darbības ar komplektiem.
Morgana likumi
Lai A un B ir divas kopas un U ir Visuma kopa, ir divas īpašības, kuras dod Morgana likumi, proti:
(A U B)ç = Aç ∩Bç
(A ∩ B)ç = Aç U Bç
Piemērs:
Ņemot vērā komplektus:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
A: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B: {5.10,15,20}
Pārbaudīsim, vai (A U B)ç = Aç ∩Bç. Tātad mums ir:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Tāpēc (A U B)ç={1,3,7,9,11,13,17,19}
Lai pārbaudītu vienlīdzības patiesumu, analizēsim operāciju Aç ∩Bç:
ç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
Bç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Tad, ç ∩Bç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(A U B)ç = Aç ∩Bç
atrisināti vingrinājumi
01) Apsveriet U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} un B: {4,5,6, 7,8,9}. Parādiet, ka (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
Izšķirtspēja:
1. solis: atrast (A ∩ B)ç. Tam mums ir, ka A that B = {4,5,6}, tātad (A ∩ B)ç ={1,2,3,7,8,9,10}.
2. solis: Atrodiç U Bç.ç: {7,8,9,10} un Bç: {1,2,3,10}, tātad Aç U Bç = {1,2,3,7,8,9,19}.
Tiek parādīts, ka (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
02) Zinot, ka A ir pāra skaitļu kopa no 1 līdz 20, kāds ir kopējais apakškopu skaits, ko mēs varam veidot no šīs kopas elementiem?
Izšķirtspēja:
Ļaujiet P būt aprakstītajai kopai, mums ir šis P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Tāpēc P elementu skaits ir 10.
Pēc daļu teorijas kopas P iespējamo apakškopu skaits ir:
210=1024
Autors Rauls Rodrigess de Oliveira
Matemātikas skolotājs