trigonometriskais aplis ir aplis, kura rādiuss 1 ir attēlots Dekarta plakne. Tajā horizontālā ass ir kosinusa, bet vertikālā - sinusa. To var saukt arī par trigonometrisko ciklu.
To izmanto, lai veiktu trigonometrisko attiecību izpēti. Ar to ir iespējams labāk izprast galvenos trigonometriskos iemeslus leņķi lielāks par 180º, proti: sinusīns, kosinuss un tangenss.
Lasiet arī: 4 biežākās kļūdas pamata trigonometrijā
Soli pa solim izveidojiet trigonometrisko apli
Lai izveidotu trigonometrisko apli, mēs izmantojam divas asis, viena vertikāla un otra horizontāla, piemēram, Dekarta plakne. Horizontālā ass ir pazīstama kā kosinusa ass, un vertikālā ass ir pazīstama kā sinusa ass.
Ar asu konstrukciju uzzīmēsim apļa diagrammu, kura rādiuss ir 1.
Trigonometriskās attiecības aplī
Mēs izmantojam apli, lai atrastu vērtību sinusa, kosinusa un pieskarīga, atbilstoši leņķa vērtībai. kam iekšā
vertikālā ass sinusa vērtība un uz horizontālās ass kosinusa vērtība, nosakot trigonometriskā apļa leņķi, ir iespējams atrast sinusa un kosinusa vērtību, analizējot punkta koordinātas, kur līnijas segments savieno apļa centru un apkārtmēru, ko attēlā P attēlo a sekot. Ja punktā (1.0) pievelkam apļa pieskares līniju, mēs varam analītiski aprēķināt šī leņķa tangenci pēc attēla:
Lasiet arī: Kas ir sekants, kosekants un kotangents?
Trigonometriskā apļa radiāni
Mēs zinām, ka loku var izmērīt, izmantojot divas dažādas mērvienības: mērījumu grādos un mērījumu collās radiāni. Mēs to zinām apkārtmērs ir 360º un ka jūsu loka garums ir 2π:
Trigonometriskā apļa kvadranti
Neatkarīgi no tā, vai tas ir radiāns vai grāds, pēc tā mērījuma ir iespējams noteikt kvadrantu, kurā atrodas dotā loka.
Analizējot ciklu, mums:
pirmais kvadrants: leņķi, kas ir no 0 līdz 90 ° vai 0 un π / 2 radiāni;
otrais kvadrants: leņķi, kas ir no 90 ° līdz 180 ° vai π / 2 un π radiāni;
trešais kvadrants: leņķi, kas ir starp 180º un 270º vai π un 3 π / 2 radiāni;
ceturtais kvadrants: leņķi, kas ir starp 270 ° un 360 ° vai 3π / 2 un 2π radiāni.
Lasiet arī: Plāna raksturojums un īpašības
Ievērojami leņķi trigonometriskajā aplī
Pētījuma sākumā trigonometrija, mēs uzzinājām, ka ievērojamie leņķi ir 30º, 45º un 60º leņķi, kuriem ir zināmā sinusa, kosinusa un pieskares vērtība. Tomēr trigonometriskā cikla simetrijas dēļ šiem leņķiem un simetriskajiem leņķiem ir iespējams atrast sinusa un kosinusa vērtības viņam katrā no kvadrantiem.
Trigonometriskās apļa zīmes
Lai saprastu, kāda ir katra cikla trigonometrisko attiecību zīme, pietiek ar ass vērtību analīzi Dekarta plaknē.
Sāksim ar kosinusu. Tā kā tā ir horizontālā ass, leņķu kosinuss, kas iekļauts pa labi no vertikālās ass, ir pozitīvs, un leņķu kosinuss, kas iekļauts pa kreisi no vertikālās ass, ir negatīvs.
Tagad, lai saprastu leņķa sinusa zīmi, vienkārši atcerieties, ka vertikālā ass ir sinusa ass, tāpēc leņķa sinusis, kas atrodas virs horizontālās ass, ir pozitīvs; bet, ja leņķis ir zem horizontālās ass, šī leņķa sinusa ir negatīva, kā parādīts nākamajā attēlā:
Mēs to zinām tangenss ir attiecība starp sinusu un kosinusu, tad, lai atrastu pieskāriena zīmi katram kvadrantam, mēs spēlējam zīmju spēli, kas pieskārienu padara pozitīvu nepāra kvadrantos un negatīvu - pāra kvadrantos:
Lasiet arī: Kas ir daļēji taisns, daļēji plakans un daļēji kosmisks?
simetrija aplī
Analizējot trigonometrisko ciklu, ir iespējams konstruēt veidu, kā samazināt sinusa, kosinusa un pieskāriena pirmo kvadrantu. Šis samazinājums nozīmē atrast leņķi, kas ir simetrisks pārējo kvadrantu leņķim, jo, strādājot ar simetrisku leņķi, trigonometrisko attiecību vērtība ir vienāda, mainot tikai tās signāls.
2. kvadrantā esošā leņķa samazināšana līdz 1. kvadrantam
Sākot ar leņķiem, kas atrodas 2. kvadrantā, mums:
Kā mēs zinām, 1. un 2. kvadrantā sinusitāte ir pozitīva. Tātad, lai aprēķinātu sinusa samazinājumu no 2. kvadranta līdz 1. kvadrantam, mēs izmantojam formulu:
grēks x = grēks (180º - x)
Kosinuss un tangenss 2. kvadrantā ir negatīvi. Lai samazinātu kosinusu no 2. kvadranta līdz 1. kvadrantam, mēs izmantojam formulu:
cosx = - cos (180º - x)
tg x = - tg (180º - x)
Piemērs:
Kāda ir sinusa un kosinusa vērtība 120 ° leņķī?
120 ° leņķis ir kvadranta otrais leņķis, jo tas ir starp 90 ° un 180 °. Lai samazinātu šo leņķi līdz 1. kvadrantam, mēs aprēķinām:
grēks 120 ° = grēks (180 ° - 120 °)
grēks 120º = grēks 60º
60 ° leņķis ir ievērojams leņķis, tāpēc ir zināma tā sinusa vērtība, tātad:
Tagad aprēķināsim jūsu kosinusu:
cos 120º = - cos (180 - 120)
cos 120º = - cos 60º
Kā mēs zinām kosinusu 60º, mums:
3. kvadrantā esošā leņķa samazināšana līdz 1. kvadrantam
Tāpat kā 2. kvadrantā, ir simetrija starp leņķiem 3. kvadrantā un leņķiem 1. kvadrantā.
Sinusa un kosinusa trešajā kvadrantā ir negatīvas. Tātad, lai samazinātu sinusu un kosinusu no 3. kvadranta līdz 1. kvadrantam, mēs izmantojam formulu:
grēks x = - grēks (x - 180º)
cosx = - cos (x - 180º)
Tangents 3. kvadrantā ir pozitīvs. Lai to samazinātu, mēs izmantojam formulu:
tg x = tg (x - 180º)
Piemērs:
Aprēķiniet sinusa, kosinusa un pieskares vērtību 225º.
grēks 225º = - grēks (225º - 180º)
grēks 225º = - grēks 45º
Tā kā 45º ir ievērojams leņķis, tad, aplūkojot galdu, mums:
Aprēķinot kosinusu, mums:
tg 225º = tg (225º - 180º)
tg 225º = tg 45º
Mēs zinām, ka tg45º = 1, tātad:
tg 225º = 1
4. kvadrantā esošā leņķa samazināšana līdz 1. kvadrantam
Ar tādu pašu pamatojumu kā iepriekšējie samazinājumi ir simetrija starp 4. un 1. kvadrantu:
Sinusa un pieskares vērtības 4. kvadrantā ir negatīvas. Tātad, lai samazinātu no 4. līdz 1. kvadrantam, mēs izmantojam formulu:
grēks x = - grēks (360º - x)
tg x = - tg (360º - x)
Kosinuss 4. kvadrantā ir pozitīvs. Tātad, lai samazinātu līdz 1. kvadrantam, formula ir šāda:
cos x = cos (360º - x)
Piemērs:
Aprēķiniet sinusa un kosinusa vērtību 330º.
Sākot ar sinusu:
Tagad kosinusa aprēķins:
Lasiet arī: Kā aprēķināt attālumu starp diviem telpas punktiem?
Trigonometriskā apļa atrisināti vingrinājumi
jautājums 1 - Apļveida momenta izpētes laikā fiziķis analizēja objektu, kas griezās ap sevi, veidojot 15 240 ° leņķi. Analizējot šo leņķi, tā izveidotā loka ir:
A) I kvadrants
B) II kvadrants.
C) kvadrants III.
D) IV kvadrants.
E) virs vienas no asīm.
Izšķirtspēja
B alternatīva
Mēs zinām, ka katrs 360 ° šis objekts ir veicis apli ap sevi. Veicot sadalīšana no 15 240 līdz 360, mēs uzzināsim, cik pilnus pagriezienus šis objekts ir veicis ap sevi, bet mūsu galvenā interese ir pārējie, kas atspoguļo leņķi, kurā tas apstājās.
15.240: 360 = 42,333…
Rezultāts rāda, ka viņš pats veica 42 pagriezienus, bet 360 · 42 = 15,120, tāpēc atstāja leņķi:
15.240 – 15.120 = 120º
Mēs zinām, ka 120 ° ir kvadranta otrais leņķis.
2. jautājums - Lūdzu, vērtējiet šādus apgalvojumus:
I → Aprēķinot tg 140º, vērtība būs negatīva.
II → 200 ° leņķis ir 2. kvadranta leņķis.
III → Sen 130º = grēks 50º.
Atzīmējiet pareizo alternatīvu:
A) Tikai es esmu nepatiess.
B) Nepatiess ir tikai II.
C) Tikai III ir nepatiesa.
D) Visi ir patiesi.
Izšķirtspēja
B alternatīva
I → Patiesi, jo 140º leņķis pieder 2. kvadrantam, kurā pieskare vienmēr ir negatīva.
II → Nepatiesa, jo 200 ° leņķis ir 3. kvadranta leņķis.
III → Patiesi, jo, lai samazinātu leņķi no 2. līdz 1. kvadrantam, vienkārši aprēķiniet starpību 180 ° - x, pēc tam:
grēks 130 ° = grēks (180 ° - 130 °)
grēks 130. = grēks 50.
Autors Rauls Rodrigess de Oliveira
Matemātikas skolotājs
Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm