Apgrieztā funkcija: kas tas ir, grafiks, vingrinājumi

apgrieztā funkcija, kā norāda nosaukums, ir funkcija f (x)^-1, kas precīzi veic funkcijas f (x) apgriezto vērtību. Lai funkcija atbalstītu apgriezto vērtību, tai jābūt bijektors, tas ir, inžektors un surjektors vienlaicīgi. Apgrieztās funkcijas veidošanās likums ir pretējs tam, ko funkcija f (x).

Piemēram, ja funkcija ņem vērtību no domēns un saskaita 2, apgrieztā funkcija, nevis saskaita, atņem 2. Atrodi apgriezto funkciju veidošanās likums tas ne vienmēr ir viegls uzdevums, jo ir nepieciešams apgriezt nezināmos x un y, kā arī izolēt y jaunajā vienādojumā.

Lasiet arī:Funkcija - viss, kas jums jāzina, lai apgūtu priekšmetu

Kad funkcija atbalsta apgriezto darbību?

Funkcijas un tās apgrieztās funkcijas grafiskais attēlojums.

Loma ir apgriežams, tas ir, tai ir apgriezta funkcija, ja un tikai tad, ja tā ir bijektors. Ir svarīgi atcerēties, kas a bijektora funkcija, kas ir funkcija inžektors, tas ir, katram attēla elementam ir viens domēna korespondents. Tas nozīmē, ka dažādi A kopas elementi ir jāsaista ar dažādiem kopas A elementiem kopa B, tas ir, nevar būt divi vai vairāki kopas A elementi, kuriem ir vienāda atbilstība komplekts B.

Loma ir surjektīvs ja attēls ir vienāds ar pretdomēnu, tas ir, kopā B nav neviena elementa, ar kuru nebūtu saistīts elements A kopa.

Ļaujiet funkcijai f: A → B, kur A ir domēns un B ir pretdomēns, f apgrieztā funkcija būs funkcija, kuru raksturo f^-1 : B → A, tas ir, domēns un pretdomēns ir apgriezti.

Piemērs:

Funkcija f: A → B ir bijektīva, jo tā ir injektīva (galu galā atsevišķi elementi A ir saistīti ar atšķirīgi elementi B) un tas ir arī surjektīvs, jo B komplektā nav neviena elementa, tas ir, pretdomēns ir tāds pats kā komplekts Attēls.

Tāpēc šī funkcija ir invertējama, un tā apgrieztā ir:

Kā tiek noteikts apgrieztās funkcijas veidošanas likums?

Lai atrastu apgriezto funkciju veidošanās likumu, mums tas ir nepieciešams apgriezt nezināmos, tas ir, aizstājot x ar y un y ar x, un pēc tam izolējot nezināmo y. Šim nolūkam ir svarīgi, lai funkcija būtu invertējama, tas ir, bijektors.

→ 1. piemērs

Atrodiet f (x) = x + 5 apgrieztās funkcijas veidošanās likumu.

Izšķirtspēja:

Mēs zinām, ka f (x) = y, tātad y = x + 5. Veicot x un y inversiju, mēs atradīsim sekojošo vienādojums:

x = y + 5

Tagad izolēsim y:

- 5 + x = y
y = x - 5

Skaidrs, ka, ja f (x) x vērtībai pievieno 5, tad tā apgrieztais f (x) ^{- 1} darīs otrādi, tas ir, x mīnus 5.

→ 2. piemērs

Ņemot vērā funkciju, kuras veidošanās likums ir f (x) = 2x - 3, kāds būs tās apgrieztā veidošanās likums?

→ 3. piemērs

Aprēķiniet funkcijas y = 2 apgrieztās formas veidošanās likumu^x.

Izšķirtspēja:

y = 2^x
X mainīšana y:
x = 2^y

piesakoties logaritms uz abām pusēm:

žurnāls₂x = žurnāls₂2^y
žurnāls₂x = ilogs₂2
žurnāls₂x = y · 1
žurnāls₂x = y
y = žurnāls₂x

Lasiet arī: Atšķirības starp funkciju un vienādojumu

Apgriezto funkciju grafiks

Apgrieztās funkcijas f grafiks ^-1 tas vienmēr būs simetrisks funkcijas f grafam attiecībā pret līniju y = x, kas ļauj analizēt šo parametru uzvedību funkcijas, kaut arī dažos gadījumos mēs nevaram aprakstīt apgriezto funkciju veidošanās likumu, tā dēļ sarežģītība.

Lasiet arī: Kā uzzīmēt funkciju?

Vingrinājumi atrisināti

1) Ja f^-1 ir f apgrieztā funkcija, kas iet no R uz R, kuras veidošanās likums f (x) = 2x - 10, f skaitliskā vērtība ^-1(2) é:

līdz 1

b) 3

c) 6

d) -4

e) -6

Izšķirtspēja:

→ 1. solis: atrodiet f apgriezto skaitli.

→ 2. solis: aizstājiet 2 x vietā f ^-1(x).

C alternatīva

2) Ļaujiet f: A → B būt funkcija, kuras veidošanās likums ir f (x) = x² + 1, kur A {-2, -1, 0, 1, 2} un B = {1,2,5}, ir pareizi teikt, ka:

a) funkcija ir invertējama, jo tā ir bijektore.

b) funkcija nav invertējama, jo tā nav injekcija.

c) funkcija nav invertējama, jo tā nav surjektīvā

d) funkcija nav invertējama, jo tā nav ne surjektīva, ne injicējoša.

e) funkcija nav invertējama, jo tā ir bijektore.

Izšķirtspēja:

Lai funkcija būtu invertējama, tai jābūt bijektīvai, tas ir, surjektīvai un injicējošai. Vispirms analizēsim, vai tas ir surjektīvs.

Lai funkcija būtu surjektīva, visiem B elementiem jābūt A līdziniekam. Lai to uzzinātu, aprēķināsim katru tā skaitlisko vērtību.

f (-2) = (-2) ² +1 = 4 + 1 = 5

f (-1) = (-1) ² +1 = 1 + 1 = 2

f (0) = 0² +1 = 0 + 1 = 1

f (1) = 1 + 1 = 1 + 1 = 2

f (2) = 2² +1 = 4 + 1 = 5

Ņemiet vērā, ka visiem B {1,2,5} elementiem ir atbilstība A, kas padara funkciju surjektīvs.

Lai šī funkcija būtu injicējama, elementiem, kas atšķiras no A, B jābūt atšķirīgiem attēliem, kas nenotiek. Ņemiet vērā, ka f (-2) = f (2), kā arī f (-1) = f (1), kas padara funkciju neinjicē. Tā kā tas nav inžektors, tas nav arī invertējams; tāpēc alternatīva b.

Autors Rauls Rodrigess de Oliveira
Matemātikas skolotājs

Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm