Apgrieztā matrica: kas tas ir, kā atrast vingrinājumus

Jēdziens apgrieztā matrica nāk ļoti tuvu skaitļa apgrieztā jēdzienam. Atcerēsimies, ka skaitļa apgrieztais skaitlis Nē ir skaitlis Nē^-1, kur reizinājums starp abiem ir vienāds ar neitrālo elementu pavairošana, tas ir, skaitlis 1. Jau tagad matricas M apgrieztais skaitlis ir matrica M^-1, kur produkts M · M^-1 ir vienāds ar identitātes matricu I_Nē, kas nav nekas cits kā neitrāls matricas reizināšanas elements.

Lai matricai būtu inverss, tai jābūt kvadrātā un turklāt tās determinantam jābūt atšķirīgam no nulles, pretējā gadījumā apgrieztā nebūs. Lai atrastu apgriezto matricu, mēs izmantojam matricas vienādojumu.

Lasīt arī: Trīsstūrveida matrica - īpašs kvadrātveida matricas veids

Lai matricai būtu apgriezts, tai jābūt kvadrātā.

identitātes matrica

Lai saprastu, kas ir apgrieztā matrica, vispirms ir jāzina identitātes matrica. Kā identitātes matricu mēs zinām kvadrātveida matricu I_Nē kur visi galvenās diagonāles elementi ir vienādi ar 1, bet pārējie termini ir vienādi ar 0.

identitātes matrica ir neitrāls matricu reizināšanas elements.

, tas ir, ņemot vērā a galvenā mītne N secībā M, reizinājums starp matricu M un I matricu_Nē ir vienāds ar matricu M.

M · I_Nē = M

Kā aprēķināt apgriezto matricu

Lai atrastu M apgriezto matricu, ir jāatrisina matricas vienādojums:

 M · M^-1 = Es_Nē

Piemērs

Atrodiet M. apgriezto matricu

Tā kā mēs nezinām apgriezto matricu, parādīsim šo matricu algebriski:

Mēs zinām, ka reizinājumam starp šīm matricām jābūt vienādiem ar I₂:

Tagad atrisināsim matricas vienādojumu:

Problēmu ir iespējams sadalīt divās daļās sistēmas vienādojumi. Pirmajā tiek izmantota matricas M · M pirmā kolonna^-1 un identitātes matricas pirmā kolonna. Tātad mums ir:

Lai atrisinātu sistēmu, izolēsim₂₁ II vienādojumā un aizstāt I vienādojumā.

Aizstājot I vienādojumu, mums:

Kā mēs atrodam a vērtību₁₁, tad mēs atradīsim vērtību a₂₁:

Zinot a vērtību₂₁ un₁₁, tagad mēs atradīsim citu vārdu vērtību, izveidojot otro sistēmu:

izolējot₂₂ III vienādojumā mums:

3₁₂ + 1₂₂ = 0

The₂₂ = - 3₁₂

Aizstājot vienādojumu IV:

5₁₂ + 2₂₂ =1

5₁₂ + 2 · (- 3₁₂) = 1

5₁₂ - 6₁₂ = 1

- a₁₂ = 1 ( – 1)

The₁₂ = – 1

Zinot a vērtību₁₂, mēs atradīsim vērtību a₂₂ :

The₂₂ = - 3₁₂

The₂₂ = – 3 · ( – 1)

The₂₂ = 3

Tagad, kad mēs zinām visus matricas M nosacījumus^-1, ir iespējams to attēlot:

Lasiet arī: Matricu saskaitīšana un atņemšana

Apgrieztās matricas īpašības

Ir īpašības, kas rodas, definējot apgriezto matricu.

• 1. īpašums: matricas M apgrieztā vērtība^-1 ir vienāds ar matricu M. Apgrieztās matricas apgrieztā vērtība vienmēr ir pati matrica, tas ir, (M^-1)^-1 = M, jo mēs zinām, ka M^-1 · M = I_Nē, tāpēc M^-1 ir M apgrieztā vērtība un arī M ir M apgrieztā vērtība^-1.
• 2. īpašums: identitātes matricas apgrieztā vērtība ir pati: I^-1 = I, jo identitātes matricas reizinājums pats par sevi rada identitātes matricu, tas ir, I_Nē · Es_Nē = Es_Nē.
• 3. īpašums: apgrieztā vērtība divu matricu reizinājumsVai Tu esi ir vienāds ar inversu reizinājumu:

(M × H)^-1 = M^-1 · A^-1.

• 4. īpašums: kvadrātveida matricai ir apgriezta vērtība tikai tad, ja tā ir noteicošais atšķiras no 0, tas ir, det (M) ≠ 0.

atrisināti vingrinājumi

1) Ņemot vērā matricu A un matricu B, zinot, ka tie ir apgriezti, tad x + y vērtība ir:

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

Izšķirtspēja:

Alternatīva d.

Veidojot vienādojumu:

A · B = I 

Otrajā slejā, kas ir vienāda ar noteikumiem, mums:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

X izolēšana I:

Aizstāšana vienādojums II, mums ir:

Zinot y vērtību, mēs atradīsim x vērtību:

Tagad aprēķināsim x + y:

2. jautājums

Matricai ir apgrieztā vērtība tikai tad, ja tās determinants atšķiras no 0. Apskatot zemāk redzamo matricu, kādas ir x vērtības, kuru dēļ matrica neatbalsta apgrieztus?

a) 0 un 1.

b) 1 un 2.

c) 2 un - 1.

d) 3 un 0.

e) - 3 un - 2.

Izšķirtspēja:

Alternatīva b.

Aprēķinot A determinantu, mēs vēlamies vērtības, kur det (A) = 0.

det (A) = x · (x - 3) - 1 · (- 2)

det (A) = x² - 3x + 2

det (A) = x² - 3x + 2 = 0

risinot 2. pakāpes vienādojums, Mums vajag:

• a = 1
• b = - 3
• c = 2

Δ = b² - 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

Autors Rauls Rodrigess de Oliveira
Matemātikas skolotājs

Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm