Viens aritmētiskā progresija (PA) ir a secība skaitliskais skaitlis, kurā katrs termins ir iepriekšējā summa ar konstanti, ko sauc par attiecību. Viņi pastāv matemātiskās izteiksmes noteikt PA termiņu un aprēķināt tā summu Nē pirmie termini.
Formula, ko izmanto, lai aprēķinātu terminu summa galīgās PA vai summas Nē pirmie PA noteikumi ir šādi:
sNē = plkst1 +Nē)
2
* n ir BP terminu skaits; The1 ir pirmais termins, unNē ir pēdējais.
PA nosacījumu summas izcelsme
Ir teikts, ka vācu matemātiķis Karls Frīdrihs Gauss, apmēram 10 gadu vecumā, tika sodīts ar savu klasi skolā. Skolotājs lika studentiem saskaitīt visus numuros redzamos skaitļus secība no 1 līdz 100.
Gauss bija ne tikai pirmais, kurš finišēja ļoti īsā laika posmā, bet arī viņš vienīgais ieguva pareizo rezultātu (5050). Turklāt tas neuzrādīja nekādus aprēķinus. Tas, ko viņš darīja, bija šī īpašuma remonts:
Divu terminu summa, kas atrodas vienādā attālumā no galīgā PA galējībām, ir vienāda ar galējību summu.
Nebija nekādu zināšanu par PAN tajā laikā, bet Gauss apskatīja numuru sarakstu un saprata, ka, pievienojot pirmo pēdējam, rezultāts būs 101; pievienojot otro priekšpēdējai, rezultāts būtu arī 101 utt. Kā visu terminu pāru summa
vienādā attālumā no galējībām nonāca līdz 101, Gausam vajadzēja tikai reizināt šo skaitli ar pusi no pieejamajiem noteikumiem, lai atrastu 5050 rezultātu.Ņemiet vērā, ka no skaitļa 1 līdz skaitlim 100 ir tieši 100 skaitļi. Gauss saprata, ka, ja viņš tos pievienotu pa diviem, viņš iegūs 50 rezultātus, kas vienādi ar 101. Tāpēc šī reizināšana tika veikta ar pusi no visiem termiņiem.
PA terminu summas demonstrēšana
Šis varoņdarbs radīja izteicienu, ko izmanto, lai aprēķinātu summa Nē pirmie PA termiņi. Taktika, ko izmanto, lai sasniegtu šo izteicienu, ir šāda:
dots viens PAN jebkurš, mēs pievienosim tā pirmos n vārdus. Matemātiski mums būs:
sNē =1 +2 +3 +… +n - 2 +n - 1 +Nē
Tieši zem šī terminu summa, mēs rakstīsim vēl vienu, ar tādiem pašiem noteikumiem kā iepriekšējais, bet dilstošā nozīmē. Ņemiet vērā, ka pirmā terminu summa ir vienāda ar otrā terminu summu. Tāpēc abus pielīdzināja SNē.
sNē =1 +2 +3 +… +n - 2 +n - 1 +Nē
sNē =Nē +n - 1 +n - 2 +… +3 +2 +1
Ņemiet vērā, ka šie divi izteicieni tika iegūti no viena PAN un vienādos attālumos esošie termini ir izlīdzināti vertikāli. Tāpēc mēs varam pievienot izteicienus, lai iegūtu:
sNē =1 +2 +3 +… +n - 2 +n - 1 +Nē
+ sNē =Nē +n - 1 +n - 2 +… +3 +2 +1
2SNē = (1 +Nē) + (a2 +n - 1) +… + (An - 1 +2) + (aNē +1)
Atcerieties, ka terminu summa, kas atrodas vienādā attālumā no galējībām, ir vienāda ar galējību summu. Tāpēc katru iekavu var aizstāt ar galējību summu, kā mēs darīsim tālāk:
2SNē = (1 +Nē) + (a1 +Nē) +... + (1 +Nē) + (a1 +Nē)
Gausa ideja bija pievienot secības vienādus attālumus. Tātad viņš saņēma pusi no termiņu summas no PAN rezultātos 101. Mēs to izdarījām tā, lai katrs sākotnējā BP termins tiktu pievienots tā vienādai attāluma vērtībai, saglabājot to terminu skaits. Tādējādi, tā kā PA bija n terminu, mēs varam mainīt izteiksmē iepriekš minēto summu ar reizinājumu un atrisināt vienādojums atrast:
2SNē = (1 +Nē) + (a1 +Nē) +... + (1 +Nē) + (a1 +Nē)
2SNē = n (a1 +Nē)
sNē = plkst1 +Nē)
2
Šī ir tieši formula, kas izmantota, lai pievienotu Nē pirmie PA termiņi.
Piemērs
Ņemot vērā P.A (1, 2, 3, 4), nosakiet tā pirmo 100 terminu summu.
Risinājums:
Mums būs jāatrod termins a100. Šim nolūkam mēs izmantosim vispārīgā termina formula PA:
TheNē =1 + (n - 1) r
The100 = 1 + (100 – 1)1
The100 = 1 + 99
The100 = 100
Tagad pirmo n terminu summēšanas formula:
sNē = plkst1 +Nē)
2
s100 = 100(1 + 100)
2
s100 = 100(101)
2
s100 = 10100
2
s100 = 5050
Autors Luizs Paulo Moreira
Beidzis matemātiku
Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm
