Uz operācijas ar komplektiem tie ir savienība, krustojums un atšķirība. Katras šīs darbības rezultāts ir jauns komplekts. Lai norādītu kopu savienību, mēs izmantojam simbolu ∪; krustojumam simbols ∩; un atšķirībai simbols atņemšana\(-\). Atšķirību gadījumā ir svarīgi ievērot secību, kādā operācija tiks veikta. Citiem vārdiem sakot, ja A un B ir kopas, tad atšķirība starp A un B atšķiras no atšķirības starp B un A.
Izlasi arī: Venna diagramma — kopu un darbību starp tām ģeometrisks attēlojums
Kopsavilkums par darbībām ar komplektiem
Darbības ar kopām ir: savienojums, krustojums un atšķirība.
Kopu A un B savienība (vai satikšanās) ir kopa A ∪ B, ko veido elementi, kas pieder A vai B.
\(A∪B=\{x; x∈A\ vai\ x∈B\}\)
Kopu A un B krustpunkts ir kopa A ∩ B, ko veido elementi, kas pieder pie A un pieder B.
\(A∩B=\{x; x∈A\ un\ x∈B\}\)
Atšķirība starp kopām A un B ir kopa A – B, ko veido elementi, kas pieder A un nepieder B.
\(A -B =\{x; x∈A\e\x∉B\}\)
Ja U (pazīstama kā Visuma kopa) ir kopa, kas satur visas kopas noteiktā kontekstā, tad starpību U – A ar A ⊂ U sauc par A papildinājumu. A papildinājumu veido elementi, kas nepieder pie A, un to attēlo
Aw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Video nodarbība par operācijām ar komplektiem
Kādas ir trīs darbības ar kopām?
Trīs operācijas ar komplektiem ir: savienība, krustojums un atšķirība.
Komplektu savienība
Kopu A un B savienība (vai tikšanās) ir kopa A ∪ B (lasiet “Savienība B”). Šo kopu veido visi elementi, kas pieder kopai A vai pieder kopai B, tas ir, elementi, kas pieder vismaz vienai no kopām.
Attēlojot A ∪ B elementus ar x, mēs rakstām
\(A∪B=\{x; x∈A\ vai\ x∈B\}\)
Tālāk esošajā attēlā oranžais apgabals ir komplekts A ∪B.
Šķiet grūti? Apskatīsim divus piemērus!
1. piemērs:
Kas ir kopa A ∪ B, ja A = {7, 8} un B = {12, 15}?
Kopu A ∪ B veido elementi, kas pieder pie A vai pieder B. Tā kā elementi 7 un 8 pieder kopai A, tad tiem abiem ir jāpieder kopai A ∪ B. Turklāt, tā kā elementi 12 un 15 pieder kopai B, tad abiem ir jāpieder kopai A ∪ B.
Tāpēc
A ∪ B={7, 8, 12, 15}
Ņemiet vērā, ka katrs no A∪B elementiem pieder vai nu kopai A, vai kopai B.
2. piemērs:
Apsveriet kopas A = {2, 5, 9} un B = {1, 9}. Kas ir kopa A ∪ B?
Tā kā elementi 2, 5 un 9 pieder kopai A, tad tiem visiem ir jāpieder kopai A∪B. Turklāt, tā kā elementi 1 un 9 pieder kopai B, tad tiem visiem ir jāpieder kopai A ∪ B.
Ņemiet vērā, ka mēs divreiz minējām 9, jo šis elements pieder kopai A un kopai B. Sakot, ka “kopu A ∪ B veido elementi, kas pieder pie A vai pieder B” neizslēdz elementus, kas vienlaikus pieder kopām A un B.
Tātad šajā piemērā mums ir
A ∪ B={1, 2, 5, 9}
Ņemiet vērā, ka elementu 9 mēs rakstām tikai vienu reizi.
Kopu krustpunkts
Kopu A un B krustpunkts ir kopa A ∩ B (lasiet “Krustpunkts B”). Šo kopu veido visi elementi, kas pieder kopai A Tas ir pieder kopai B. Citiem vārdiem sakot, A ∩ B sastāv no kopas A un B kopīgiem elementiem.
Norādot A ∩ B elementus ar x, mēs rakstām
\(A∩B=\{x; x∈A\ un\ x∈B\}\)
Tālāk esošajā attēlā oranžais apgabals ir komplekts A ∩B.
Atrisināsim divus piemērus par kopu krustpunktu!
1. piemērs:
Apsveriet, ka A = {-1, 6, 13} un B = {0, 1, 6, 13}. Kas ir kopa A ∩ B?
Kopu A ∩ B veido visi kopai A piederošie elementi Tas ir pieder kopai B. Ņemiet vērā, ka elementi 6 un 13 vienlaikus pieder kopām A un B.
Kā šis,
A ∩ B={6, 13}
2. piemērs:
Kāds ir kopu krustpunkts A = {0,4} un \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Ņemiet vērā, ka starp kopām A un B nav kopīgu elementu. Tādējādi krustojums ir kopa bez elementiem, tas ir, tukša kopa.
Tāpēc
\(\)A ∩ B={ } = ∅
Atšķirība starp komplektiem
Atšķirība starp komplektiem A un B ir kopa A – B (lasiet “atšķirība starp A un B”). Šis komplekts sastāv no visi elementi, kas pieder kopai A un nepieder kopai B.
Attēlojot A – B elementus ar x, mēs rakstām
\(A-B=\{x; x∈A\ un\ x∉B\}\)
Tālāk esošajā attēlā oranžais apgabals ir komplekts A – B.
Uzmanību: atšķirība starp kopām A un B nav atšķirība starp kopām B un A, jo B – A veido visi elementi, kas pieder kopai B un nepieder kopai A.
Apsveriet divus tālāk sniegtos piemērus par atšķirībām starp komplektiem.
1. piemērs:
Ja A = {-7, 2, 100} un B = {2, 50}, tad kāda ir kopa A – B? Kā ar komplektu B – A?
KomplektsA-B sastāv no visiem elementiem, kas pieder kopai A Tas irNē pieder kopai B. Ņemiet vērā, ka 2 ir vienīgais elements kopā A, kas arī pieder kopai B. Tādējādi 2 nepieder pie kopas A – B.
Tāpēc
A–B = {–7, 100}
Turklāt kopu B – A veido visi kopai B piederošie elementi Tas irNē pieder komplektam A. Tāpēc
B – A = {50}
2. piemērs:
Kāda ir atšķirība starp kopu A = {–4, 0} un kopu B = {–3}?
Ņemiet vērā, ka neviens no A elementiem nepieder pie B. Tādējādi starpība A – B ir pati kopa A.
\(A-B = \{-4,0\} = A\)
Novērojums: Apsveriet, ka U (saukta par Visuma kopu) ir kopa, kas satur visas pārējās kopas noteiktā situācijā. Kā šis, atšķirība U–A, ar A⊂U, ir kopa, ko sauc par A komplementāru un attēlots kā \(B.C\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Nākamajā attēlā taisnstūris ir Visuma kopa un oranžais apgabals ir Visuma kopa \(B.C\).
Uzziniet vairāk: Soli pa solim, kā veikt sadalīšanu
Atrisināja uzdevumus par komplekta operācijām
jautājums 1
Apsveriet kopas A = {–12, –5, 3} un B = {–10, 0, 3, 7} un klasificējiet katru tālāk minēto apgalvojumu kā T (patiess) vai F (nepatiess).
es A ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. A ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
Pareizā secība no augšas uz leju ir
A) V-V-V
B) F-V-V
C) V-F-V
D) F-F-V
E) F-F-F
Izšķirtspēja
es Nepatiesi.
Elementam 0 ir jāpieder A un B savienībai, jo 0 ∈ B. Tādējādi A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. Taisnība.
III. Taisnība.
B alternatīva.
2. jautājums
Apsveriet, ka A = {4, 5}, B = {6,7} un C = {7,8}. Tad kopa A ∪ B ∩ C ir
A) {7}.
B) {8}.
C) {7, 8}.
D) {6,7,8}.
E) {4, 5, 6, 7, 8}.
Izšķirtspēja
Ņemiet vērā, ka A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Tāpēc kopa A ∪ B ∩ C ir krustpunkts starp A ∪ B = {4, 5, 6, 7} un C = {7,8}. Drīzumā
A ∪ B ∩ C = {7}
Alternatīva A.
Avoti
LIMA, Īlons L.. Analīzes kurss. 7 ed. Riodežaneiro: IMPA, 1992. gads. v.1.
LIMA, Īlons L. un citi. vidusskolas matemātika. 11. ed. Matemātikas skolotāju kolekcija. Riodežaneiro: SBM, 2016. v.1.
