A sakņošanās Tā ir matemātiska darbība, tāpat kā saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana un potenciācija. Tāpat kā atņemšana ir saskaitīšanas apgrieztā darbība un dalīšana ir reizināšanas apgrieztā darbība, radiācija ir potenciācijas apgrieztā darbība. Tādējādi reāli pozitīviem x un y un veselam skaitlim n (lielāks par vai vienāds ar 2), ja x paaugstināts līdz n ir vienāds ar y, mēs varam teikt, ka y n-tā sakne ir vienāda ar x. Matemātiskajā apzīmējumā: \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Izlasi arī:Frakciju potencēšana un radiācija — kā to izdarīt?
Kopsavilkums par sakņošanu
Rootifikācija ir matemātiska darbība.
Radiācija un potenciācija ir apgrieztas darbības, tas ir, pozitīvajiem x un y, \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Skaitļa y n-tās saknes aprēķināšana nozīmē skaitļa x atrašanu tā, lai x palielināts līdz n ir vienāds ar y.
Saknes nolasīšana ir atkarīga no indeksa n. Ja n = 2, mēs to saucam par kvadrātsakni, un, ja n = 3, mēs to saucam par kubsakni.
Darbībās ar radikāļiem mēs izmantojam terminus ar vienādu indeksu.
Radiācijai ir svarīgas īpašības, kas atvieglo tā aprēķināšanu.
Video nodarbība par sakņošanu
Saknes attēlojums
Lai attēlotu iesakņošanos, mums jāapsver trīs iesaistītie elementi: radikāns, indekss un sakne. Simbols \(√\) sauc par radikālu.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
Šajā piemērā y ir radikāns, n ir indekss un x ir sakne. Tas skan "n-tā sakne no y ir x". Kamēr x un y apzīmē pozitīvus reālos skaitļus, n ir vesels skaitlis, kas vienāds ar vai lielāks par 2. Ir svarīgi atzīmēt, ka n = 2 indeksu var izlaist. Tātad, piemēram, \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
Mēs varam attēlot radiāciju, izmantojot radikānu ar daļēju eksponentu. Formāli mēs sakām, ka n-tā sakne \(y^m\) var uzrakstīt kā y paaugstinātu līdz daļējai eksponentei \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Skatiet piemērus:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
Atšķirības starp radiāciju un potenciāciju
Potenciācija un starojums ir apgrieztas matemātiskas darbības. Tas nozīmē, ka, ja \(x^n=y\), tad \(\sqrt[n]{y}=x\). Šķiet grūti? Apskatīsim dažus piemērus.
Ja \(3^2=9\), tad \(\sqrt[2]{9}=3\).
Ja \(2^3=8\), tad \(\sqrt[3]{8}=2\).
Ja \(5^4=625\), tad \(\sqrt[4]{625}=5\).
Kā lasīt sakni?
Lai lasītu sakni, mums jāņem vērā indekss n. Ja n = 2, mēs to saucam par kvadrātsakni. Ja n = 3, mēs to saucam par kuba sakni. Par vērtībām n lielāki, mēs izmantojam nomenklatūru kārtas skaitļiem: ceturtā sakne (ja n = 4), piektā sakne (ja n = 5) un tā tālāk. Skatiet dažus piemērus:
\(\sqrt[2]{9}\) – kvadrātsakne no 9.
\(\sqrt[3]{8}\) – kubsakne no 8.
\(\sqrt[4]{625}\) – ceturtā sakne no 625.
Kā aprēķināt skaitļa sakni?
Tālāk mēs redzēsim, kā aprēķināt pozitīva reālā skaitļa sakni. Lai aprēķinātu skaitļa sakni, mums jāņem vērā saistītā apgrieztā darbība. Tas ir, ja mēs meklējam skaitļa y n-to sakni, mums jāmeklē tāds skaitlis x, ka \(x^n=y\).
Atkarībā no y vērtības (tas ir, radikāda) šis process var būt vienkāršs vai darbietilpīgs. Apskatīsim dažus piemērus, kā aprēķināt skaitļa sakni.
1. piemērs:
Kāda ir kvadrātsakne no 144?
Izšķirtspēja:
Zvanīsim uz numuru, kuru meklējam x, tas ir, \(\sqrt{144}=x\). Ņemiet vērā, ka tas nozīmē, ka jāmeklē tāds skaitlis x \(x^2=144\). Pārbaudīsim dažas iespējas ar naturāliem skaitļiem:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
Tāpēc \(\sqrt{144}=12\).
2. piemērs:
Kāda ir 100 kuba sakne?
Izšķirtspēja:
Zvanīsim uz numuru, kuru meklējam x, tas ir, \(\sqrt[3]=x\). Tas nozīmē ka \(x^3=100\). Pārbaudīsim dažas iespējas:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Ņemiet vērā, ka mēs meklējam skaitli, kas ir no 4 līdz 5, kā \(4^3=64\) Tas ir \(5^3=125\). Tātad, pārbaudīsim dažas iespējas ar skaitļiem no 4 līdz 5:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
Kā \(4,6^3 \) ir skaitlis, kas ir tuvu un mazāks par 100, mēs varam teikt, ka 4,6 ir 100 kuba saknes tuvinājums. Tāpēc \(\sqrt[3] ≈4,6\).
Svarīgs:Ja sakne ir racionāls skaitlis, mēs sakām, ka sakne ir precīza; pretējā gadījumā sakne nav precīza. Iepriekš minētajā piemērā mēs nosakām diapazonu starp precīzām saknēm, kur tiek atrasta meklētā sakne:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
Šī stratēģija ir ļoti noderīga, lai aprēķinātu saknes tuvinājumus.
Operācijas ar radikāļiem
Darbībās ar radikāļiem mēs izmantojam terminus ar vienādu indeksu. Ņemot to vērā, uzmanīgi izlasiet tālāk sniegto informāciju.
→ Saskaitīšana un atņemšana starp radikāļiem
Lai atrisinātu saskaitīšanu vai atņemšanu starp radikāļiem, mums ir jāaprēķina katra radikāļa sakne atsevišķi.
Piemēri:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Svarīgs: Saskaitīšanas un atņemšanas operācijās nav iespējams darbināt radikāļus. Ņemiet vērā, ka, piemēram, operācija \(\sqrt4+\sqrt9\) rada atšķirīgu skaitu \(\sqrt{13}\), pat ja \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3,6\)
→ Reizināšana un dalīšana starp radikāļiem
Lai atrisinātu reizināšanu vai dalīšanu starp radikāļiem, mēs varam aprēķināt katra radikāļa sakni atsevišķi, bet mēs varam arī izmantot radiācijas īpašības, kuras mēs redzēsim tālāk.
Piemēri:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
Kādas ir radiācijas īpašības?
→ Radiācijas 1. īpašība
Ja y ir pozitīvs skaitlis, tad n-tā sakne \(y^n\) ir vienāds ar y.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Skatiet piemēru:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
Šo īpašību plaši izmanto, lai vienkāršotu izteiksmes ar radikāļiem.
→ Radiācijas 2. īpašība
Produkta n-tā sakne \(y⋅z\) ir vienāds ar y un z n-tās saknes reizinājumu.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Skatiet piemēru:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Svarīgs: Kad mēs aprēķinām liela skaitļa sakni, tas ir ļoti noderīgi faktors (sadala) radikānu pirmskaitļos un lietojiet 1. un 2. rekvizītus. Skatiet šādu piemēru, kurā mēs vēlamies aprēķināt \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Kā šis,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ Īpašums 3sakņošanās
Koeficienta n-tā sakne \(\frac{y}z\), ar \(z≠0\), ir vienāds ar y un z n-tās saknes koeficientu.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Skatiet piemēru:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ Radiācijas 4. īpašība
Y n-tā sakne, kas izvirzīta līdz eksponentam m, ir vienāda ar n-to sakni \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
Skatiet piemēru:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Skatīt arī: Kādas ir potenciācijas īpašības?
Atrisināja vingrinājumus par radiāciju
jautājums 1
(FGV) Vienkāršošana \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), tu dabū:
A) 0
B) - 23
C) - 43
D) - 63
D) - 83
Izšķirtspēja:
Alternatīva C.
Ņemiet vērā, ka, izmantojot radiācijas īpašības, mums ir
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
Tādējādi mēs varam pārrakstīt apgalvojuma izteiksmi kā
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
Liekot terminu \(\sqrt3\) pierādījumus, mēs to secinām
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
2. jautājums
(Cefet) Ar kuru skaitli jāreizina skaitlis 0,75, lai iegūtā reizinājuma kvadrātsakne būtu vienāda ar 45?
A) 2700
B) 2800
C) 2900
D) 3000
Izšķirtspēja:
Alternatīva A.
Meklētais skaitlis ir x. Tādējādi saskaņā ar paziņojumu,
\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)
Tāpēc
\(0,75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0,75}\)
\(x = 2700\)
