O nošķelta konusa tilpums ir šī apaļā ķermeņa aizņemtā telpa. Tā kā konusa ar rādiusu R šķērsgriezums rada mazāku rādiusa konusu r un nošķelts konuss, šo trīs cieto vielu tilpumi ir saistīti.
Lasi arī: Kā aprēķināt piramīdas stumbru
Kopsavilkums par nošķeltā konusa tilpumu
- Konuss ar rādiusu R nogriezts šķērsām augstumā H Pamatplakne ir sadalīta divās ģeometriskās cietās daļās: rādiusa konusā r Tas ir stumbra konuss.
- Nogrieztā konusa galvenie elementi ir augstums H, mazākā rādiusa bāze r un lielāka bāze ar rādiusu R.
- Nošķeltā konusa tilpums ir starpība starp rādiusa R konusa tilpumu un rādiusa konusa tilpumu r.
- Nošķelta konusa tilpuma formula ir šāda:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
Video nodarbība par nošķeltā konusa apjomu
Kādi ir nošķelta konusa elementi?
No taisnā konusa ar rādiusu R sekcijas veidotā nošķelta konusa elementi ir:
- neliela bāze – rādiusa aplis r, kas iegūts rādiusa R konusa griezumā.
- lielāka bāze – konusa ar rādiusu R apļveida pamatne.
- Augstums (h) – attālums starp pamatu plaknēm.
- Generatrix – segments ar galiem uz apkārtmēriem, kas norobežo pamatnes.
A attēlā zemāk ir parādīti nošķelta konusa elementi. Ņemiet vērā, ka mazā un galvenā bāze ir paralēlas.
Konusa tilpuma formula
Tālāk izsecināsim auguma frustum tilpuma formulu H, mazāks bāzes rādiuss r un lielākās bāzes rādiuss R .
Apsveriet, ka konusa šķērsgriezums ar rādiusu R un augstumu H1 rada divas cietas vielas:
- zibens konuss r un augstums h2 Tas ir
- augsts stumbra konuss H .
saproti to \(H_1=H_2+h\).
R rādiusa konusa tilpums (ko sauksim par lielāko konusu) tiks attēlots ar VR; rādiusa konusa tilpums r (ko sauksim par mazāko konusu), ar Vr; un nošķeltā konusa tilpums par Vt. Tāpēc:
\(V_R=V_r+V_t\)
Pieraksti to:
- \(V_R=\frac{1}{3} πR^2 H_1=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)\)
- \(V_r=\frac{1}{3}1/3 πr^2 H_2\)
Novērošana: VR un Vr ir konusu tilpumi. Lai pārskatītu šo lietu, noklikšķiniet uz šeit.
Kā šis:
\(V_R=V_r+V_t\)
\(\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)=1/3 πr^2 H_2+V_t\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 H¬_2+1/3 πR^2 h-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} π(R^2 H_2+R^2 h-r^2 H_2 )\)
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
Termiņš H2 atbilst mazākā konusa augstumam. Saistot konusu augstumus ar attiecīgajiem pamatu rādiusiem, varam iegūt formulu stumbra tilpumam, kas ir atkarīga tikai no stumbra elementiem (R, r Tas ir H).
Lielā konusa rādiusa un augstuma saistīšana (R un H1 ) ar mazākā konusa rādiusu un augstumu (r un H2), mums ir šāda proporcija:
\(\frac{R}{H_1}=\frac{r}{H_2}\)
\(\frac{R}{H_2+h}=\frac{r}{H_2}\)
\(RH_2=rH_2+rh\)
\(H_2=\frac{rh}{R-r}\)
Drīzumā mēs varam pārrakstīt stumbra tilpumu Vt sekojoši:
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2h+(R^2-r^2 ) \frac{rh}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R^2-r^2 ) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r)(R-r) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r) r]\)
Kā šis, Nošķeltā konusa tilpuma formula ir:
\(V_t=\frac{1}{3}πh (R^2+r^2+Rr)\)
Izlasi arī: Dažādu ģeometrisku cietvielu tilpuma formulas
Kā aprēķināt nošķeltā konusa tilpumu?
Lai aprēķinātu nošķelta konusa tilpumu, vienkārši aizstājiet formulā augstuma mērījumus, mazākās pamatnes rādiusu un lielākās pamatnes rādiusu.
- Piemērs: kāds ir nošķelta konusa tilpums kubikcentimetros, kura lielākās pamatnes rādiuss ir R = 5 cm, mazākās pamatnes rādiuss ir r = 3 un augstums ir h = 2 cm? (Izmantojiet π=3 )
Aizvietojot datus formulā, mēs iegūstam:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅2⋅(5^2+3^2+5⋅3)\)
\(V_t=2⋅(49)\)
\(V_t=98 cm³\)
Atrisināja vingrinājumus par nošķeltā konusa apjomu
jautājums 1
Katls ir nošķelta konusa formā ar lielāko pamatnes rādiusu R = 8 cm, mazāko pamatnes rādiusu r = 4 un augstums h = 2 cm. Šī katla tilpums cm³ ir:
a) 48 pi
b) 64 pi
c) 112 pi
d) 448 pi
e) 1344 pi
Izšķirtspēja
Aizvietojot datus formulā, mēs iegūstam:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅π⋅12⋅(8^2+4^2+8⋅4)\)
\(V_t=4π⋅(112)\)
\(V_t=448 π\)
Alternatīva D
2. jautājums
(Enem 2021) Viens cilvēks nopirka krūzi zupas dzeršanai, kā parādīts attēlā.
Ir zināms, ka 1 cm³ = 1 ml un ka krūzes augšdaļa ir aplis ar diametru (D) 10 cm, bet pamatne ir aplis ar diametru (d) 8 cm.
Turklāt ir zināms, ka šīs krūzes augstums (h) ir 12 cm (attālums starp augšējo un apakšējo apļu centru).
Izmantojiet 3 kā π tuvinājumu.
Kāda ir šīs krūzes tilpuma tilpums mililitros?
a) 216
b) 408
c) 732
d) 2196
e) 2928
Izšķirtspēja
Krūzes forma ir nošķelts konuss, kura augšdaļa ir lielāka pamatne. Arī R=5, r = 4 cm un H = 12. Drīzumā:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅12⋅(5^2+4^2+5⋅4)\)
\(V_t=12⋅(61)\)
\(V_t=732 cm³\)
Tā kā 1 cm³ = 1 ml, mums ir 732 cm³ = 732 ml.
Alternatīva C
Avoti:
DANTE, L. R. Matemātika: konteksts un lietojumprogrammas - Vidusskola. 3. ed. Sanpaulu: Atika, 2016. v.3.
DOLCE, O; POMPEO, Dž. Nē. Elementārās matemātikas pamati, 10. sējums: Telpiskā ģeometrija — pozīcija un metrika. 7 ed. Santos: Pašreizējais, 2013.
Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-do-tronco-de-cone.htm
