A sfērisks vāciņš un ģeometriska cietviela ko iegūst, kad sfēru pārtver plakne, sadalot to divās ģeometriskās cietās daļās. Sfēriskais vāciņš tiek uzskatīts par apaļu korpusu, jo tam, tāpat kā sfērai, ir noapaļota forma. Lai aprēķinātu sfēriskā vāciņa laukumu un tilpumu, mēs izmantojam īpašas formulas.
Izlasi arī: Konusa stumbrs — ģeometriska cietviela, ko veido konusa dibens, veidojot pamatnei paralēlu posmu
Kopsavilkums par sfērisku vāciņu
- Sfēriskais vāciņš ir ģeometriska cieta viela, kas iegūta, sadalot sfēru ar plakni.
- Sfēriskā vāciņa galvenie elementi ir sfēras rādiuss, sfēriskā vāciņa rādiuss un sfēriskā vāciņa augstums.
- Sfēriskais vāciņš nav daudzskaldnis, bet gan apaļš korpuss.
- Ja plakne sadala sfēru uz pusēm, sfēriskais vāciņš veido puslodi.
- Sfēriskā vāciņa rādiusu var aprēķināt, izmantojot Pitagora teorēmu, kas sakārtota šādi:
\(\left (R-h\right)^2+r^2=R^2\)
- Sfēriskā vāciņa laukumu var aprēķināt, izmantojot formulu:
\(A=2\pi rh\ \)
- Sfēriskā vāciņa tilpumu var aprēķināt, izmantojot šādu formulu:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\left (3r-h\right)\)
Kas ir sfērisks vāciņš?
sfērisks vāciņš ir ģeometriskā cietā viela, kas iegūta, ja daļa no bumba kopīgs plakans. Kad mēs griežam sfēru ar plakni, mēs sadalām šo sfēru divos sfēriskos vāciņos. Kad mēs sadalām sfēru uz pusēm, sfērisko vāciņu sauc par puslodi.
Sfēriskie vāciņu elementi
Sfēriskā vāciņā galvenie elementi ir sfēras rādiuss, sfēriskā vāciņa rādiuss un sfēriskā vāciņa augstums.
- R → sfēras rādiuss.
- r → sfēriskā vāciņa rādiuss.
- h → sfēriskā vāciņa augstums.
Vai sfēriskais vāciņš ir daudzskaldnis vai apaļš korpuss?
Mēs redzam, ka vāciņš ir ģeometriska cieta viela. Tā kā tam ir apļveida pamatne un noapaļota virsma, sfēriskais vāciņš tiek uzskatīts par a apaļš ķermenis, kas ir pazīstama arī kā revolūcijas cietviela. Ir vērts pieminēt, ka daudzskaldnis ir sejas, ko veido daudzstūri, kas nav sfēriskā vāciņa gadījumā, kam ir pamatne, ko veido a aplis.
Kā aprēķināt sfēriskā vāciņa rādiusu?
Lai aprēķinātu sfēriskā vāciņa rādiusa garumu, ir jāzina sfēriskās cepures augstuma h garums un sfēras rādiusa R garums, jo, kā redzam nākamajā attēlā, pastāv Pitagora attiecības.
Ņemiet vērā, ka mums ir a taisnleņķa trīsstūris, trīsstūris OO’B, ar hipotenūzu R un kājiņām R – h un r. Piemērojot Pitagora teorēma, Mums vajag:
\(\left (R-h\right)^2+r^2=R^2\)
Piemērs:
Kāds ir sfēriskas vāciņa rādiuss, kura augstums ir 2 cm, ja sfēras rādiuss ir 5 cm?
Izšķirtspēja:
Pielietojot Pitagora attiecību:
\(\left (R-h\right)^2+r^2=R^2\)
\(\left (5-2\right)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25-9\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
Kā aprēķināt sfēriskā vāciņa laukumu?
Lai aprēķinātu sfēriskā vāciņa laukumu, jāzina sfēras rādiusa R garuma un cepures augstuma h mērīšana. Virsmas laukuma aprēķināšanai izmantotā formula ir šāda:
\(A=2\pi Rh\)
- R → sfēras rādiuss.
- h → sfēriskā vāciņa augstums.
Piemērs:
Sfērisks vāciņš tika iegūts no sfēras, kuras rādiuss ir 6 cm un augstums 4 cm. Tātad, kāds ir šī sfēriskā vāciņa virsmas laukums?
Izšķirtspēja:
Aprēķinot sfēriskā vāciņa laukumu, mums ir:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\ cm^2\)
Kā aprēķināt sfēriskā vāciņa tilpumu?
Sfēriskā vāciņa tilpums var aprēķināt divos veidos. Pirmā formula ir atkarīga no sfēras rādiusa R un augstuma h:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)
Piemērs:
Kāds ir sfēriskas vāciņa tilpums, kas iegūts no sfēras ar rādiusu 8 cm un kuras augstums ir 6 cm?
Izšķirtspēja:
Tā kā mēs zinām R un h vērtību, mēs izmantosim pirmo formulu.
R = 8
h = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\left (3\cdot8-6\right)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\left (24-6\right)\)
\(V=12\pi\left (18\right)\)
\(V=216\pi\ cm^3\)
Citā sfēriskā vāciņa tilpuma formulā ir ņemts vērā sfēriskā vāciņa rādiuss r un vāciņa augstums h:
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)
Piemērs:
Kāds ir sfēriskas formas vāciņa tilpums, kura rādiuss ir 10 cm un augstums ir 4 cm?
Izšķirtspēja:
Šajā gadījumā mums ir r = 10 cm un h = 4 cm. Tā kā mēs zinām sfēriskā vāciņa rādiusa un augstuma vērtību, mēs izmantosim otro formulu:
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3{\cdot10}^2+4^2\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3\cdot100+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (300+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (316\right)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(V\aptuveni 210,7\ \pi\ cm³\)
Skatīt arī: Piramīdas stumbrs — ģeometriska cietviela, ko veido piramīdas dibens, ņemot šķērsgriezumu
Atrisināja vingrinājumus uz sfēriskas vāciņa
jautājums 1
(Enem) Bērnu svētku galda dekorēšanai šefpavārs izmantos sfērisku meloni ar diametru 10 cm, kas kalpos kā atbalsts dažādu saldumu iesmēšanai. Viņš noņems melonei sfērisku vāciņu, kā parādīts attēlā, un, lai garantētu šī atbalsta stabilitāti, apgrūtinot melonei ripošanos pāri galdam, šefpavārs sagriež tā, lai apļveida griezuma sekcijas rādiuss r būtu vismaz mīnus 3 cm. No otras puses, priekšnieks vēlēsies, lai reģionā, kurā tiks izlikti saldumi, būtu pēc iespējas lielāka platība.
Lai sasniegtu visus savus mērķus, šefpavāram ir jānogriež melones augšdaļa h augstumā, centimetros, kas vienāds ar
A) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
B)\(10-\sqrt{91}\)
C) 1
D) 4
E) 5
Izšķirtspēja:
Alternatīva C
Mēs zinām, ka sfēras diametrs ir 10 cm, tātad tās rādiuss ir 5 cm, tātad OB = 5 cm.
Ja sekcijas rādiuss ir tieši 3 cm, mums ir:
AO² +AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO² + 9 = 25
AO² = 25–9
AO² = 16
AO = \(\sqrt{16}\)
AO = 4 cm
Tāpēc:
h + 4 = 5
h = 5–4
h = 1
2. jautājums
Sfēriska vāciņa laukums ir 144π cm². Zinot, ka tā rādiuss ir 9 cm, šī sfēriskā vāciņa augstums ir:
A) 8 cm
B) 10 cm
C) 14 cm
D) 16 cm
E) 22 cm
Izšķirtspēja:
Alternatīva A
Mēs zinām, ka:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pi h\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=h\)
Augstums ir 8 cm.
Rauls Rodrigess de Oliveira
Matemātikas skolotājs
Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm