Pētot apļus, svarīgs pētāms jēdziens ir apļa pieskaršanās līnijas. Lai veiktu šo pētījumu, ir jāsaprot punkta relatīvās pozīcijas attiecībā pret apli. Ja neesat izpētījis kaut ko saistītu ar šo tēmu, skatiet rakstu Relatīvās pozīcijas starp punktu un apli.
Novērojot punkta stāvokli attiecībā pret apli, mēs varam secināt dažus faktus, kas saistīti ar pieskares līnijām. Ir zināms, ka no punkta līdz lokam ir trīs relatīvas pozīcijas. Katrai pozīcijai mēs varam kaut ko secināt par pieskares līniju, kas iet caur šo punktu.
• Punkts apļa iekšpusē: caur šo punktu nevar novilkt pieskares līniju.
• Punkts, kas pieder lokam: caur šo punktu mums var būt tikai pieskares līnija, jo tas ir pieskares punkts.
• Punkts ārpus apļa: no šī punkta mēs varam uzzīmēt divas līnijas, kas pieskaras aplim.
Tāpēc, lai noteiktu līnijas pieskares vienādojumu ar apli caur noteiktu punktu, mums obligāti jānosaka šī punkta relatīvā pozīcija. Šī pozīcija ir atkarīga no attāluma no punkta līdz apļa centram.
Mums jāatceras daži svarīgi fakti par analītisko ģeometriju:
• Īsākais attālums no punkta līdz līnijai ir šai līnijai perpendikulārs segments;
• Pieskares līnija vienmēr ir perpendikulāra staram tā pieskares punktā.
Saistībā ar diviem iepriekšējiem faktiem var apgalvot, ka attālumam no pieskares līnijas līdz centram jābūt vienādam ar rādiusu.
Tāpēc, lai noteiktu pieskares līnijas vienādojumu, mums jāanalizē tā punkta pozīcija, kuru mēs uzzīmēsim līdz līnijai un tādējādi aprēķiniet līnijas, kurā atrodas šis punkts, attālumu attiecībā pret līnijas centru apkārtmērs.
Lai labāk izprastu visus šos jēdzienus, mēs strādāsim ar piemēriem, kuriem vajadzīgas šīs pārdomas.
1) Nosakiet līnijas (-u), kas pieskaras dotajam aplim, vienādojumu (-us), ko velk punkts P
a) vienāds apkārtmērs: x2+ y2 - 6x - 8y = 0 P (0,0)
Ar to mēs varam iegūt nepieciešamo informāciju mūsu problēmai:
C (3,4), r = 5.
Tagad mums jāatrod punkta P (0,0) relatīvā pozīcija:
Tāpēc punkts P ir pieskares punkts.
Nosakīsim taisnās līnijas vienādojumu caur punktu P
Lai faktiski noteiktu līnijas vienādojumu, mums joprojām ir jānoskaidro, kāds ir šīs līnijas slīpums. Viens no faktiem, ko mēs redzējām šī raksta sākumā, bija pieskares līnijas perpendikulitāte apļa rādiusam. Punkts P ir pieskares punkts, tāpēc līnijas slīpumam, kas iet caur punktu P, un centram jābūt perpendikulāram pieskares līnijai. Tam mums ir sakarība starp perpendikulārām nogāzēm.
Citiem vārdiem sakot, perpendikulāro līniju nogāžu reizinājums ir vienāds ar -1.
Lai noteiktu PC segmenta slīpumu, mums jāizmanto šāda izteiksme:
Ar to mēs iegūstam pieskares līnijas vienādojumu:
Cits veids, kā noteikt m vērtību, būtu aprēķināt attālumu no centra līdz līnijai. Šis attālums ir vienāds ar rādiusu. Paskatīsimies:
Kad punkts atrodas ārpus apļa, mums jāatrod pieskares punkts, izmantojot attālumu no apļa centra līdz pieskares līnija, tāpēc mēs noteiksim pieskares līnijas leņķa koeficienta vērtību, kas savukārt noteiks līnijas vienādojumu pieskāriens.
Autors Gabriels Alesandro de Oliveira
Beidzis matemātiku
Brazīlijas skolu komanda
Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tangencia-circunferencia.htm