Lai aprēķinātu kvadrātveida matricu, kuru kārtas lielums ir mazāks vai vienāds ar 3 (n≤3), determinantus, mums ir daži praktiski noteikumi, lai veiktu šos aprēķinus. Tomēr, ja pasūtījums ir lielāks par 3 (n> 3), daudzi no šiem noteikumiem nav piemērojami.
Tātad mēs redzēsim Laplasa teorēmu, kas, izmantojot kofaktora koncepciju, noved pie determinantu aprēķināšanas pie noteikumiem, kas attiecas uz jebkurām kvadrātveida matricām.
Laplasa teorēma sastāv no vienas no matricas rindām (rindas vai kolonnas) izvēles un šīs rindas elementu produktu pievienošanas pēc to attiecīgajiem kofaktoriem.
Algebriskā ilustrācija:
Apskatīsim piemēru:
Aprēķiniet C matricas determinantu, izmantojot Laplasa teorēmu:
Saskaņā ar Laplasa teorēmu, lai aprēķinātu determinantu, mums jāizvēlas rinda (rinda vai kolonna). Izmantosim pirmo kolonnu:
Mums jāatrod kofaktora vērtības:
Tādējādi pēc Laplasa teorēmas matricas C determinants tiek dots ar šādu izteicienu:
Ņemiet vērā, ka nebija nepieciešams aprēķināt matricas elementa kofaktoru, kas bija vienāds ar nulli, galu galā, reizinot kofaktoru, rezultāts tik un tā būtu nulle. Tāpēc, kad mēs sastopamies ar matricām, kuru vienā rindā ir daudz nulles, Laplasa teorēmas izmantošana kļūst interesanta, jo nebūs nepieciešams aprēķināt vairākus kofaktori.
Apskatīsim šī fakta piemēru:
Aprēķiniet matricas B determinantu, izmantojot Laplasa teorēmu:
Ņemiet vērā, ka otrā kolonna ir tā rinda, kurā ir vislielākais nulļu daudzums, tāpēc mēs izmantosim šo rindu, lai aprēķinātu matricas determinantu, izmantojot Laplasa teorēmu.
Tāpēc, lai noteiktu matricas B determinantu, vienkārši atrodiet kofaktoru A22.
Tāpēc mēs varam pabeigt determinanta aprēķinus:
det B = (- 1). (- 65) = 65
Autors Gabriels Alesandro de Oliveira
Beidzis matemātiku
Brazīlijas skolu komanda
Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-laplace.htm