Jūs kompleksie skaitļi rodas no nepieciešamības atrisināt vienādojumi kuriem ir negatīvā skaitļa sakne, kuru līdz tam nebija iespējams atrisināt, strādājot ar reāliem skaitļiem. Sarežģītus skaitļus var attēlot trīs veidos: a algebriskā forma (z = a + bi), kas sastāv no reālas daļas The un iedomātu daļu B; The Ģeometriskā forma, attēlots kompleksā plaknē, kas pazīstams arī kā Arganda-Gausa plakne; un tavs trigonometriskā forma, pazīstams arī kā polārā forma. Pamatojoties uz to attēlojumu, tā kā mēs strādājam ar skaitlisko kopu, kompleksiem skaitļiem ir skaidri noteiktas darbības: saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana un potencēšana.
Izmantojot ģeometrisko attēlojumu sarežģītajā plaknē, mēs arī definējam moduli (kuru apzīmē |z|) no kompleksa skaitļa - kas ir attālums no kompleksa skaitli apzīmējošā punkta līdz sākumam - un kāds ir a arguments komplekss skaitlis - kas ir leņķis, kas veidojas starp horizontālo asi un sliežu ceļu, kas savieno sākumu ar punktu, kas apzīmē skaitli komplekss.
nepieciešamība pēc kompleksiem skaitļiem
Matemātikā skaitliskā komplekta paplašināšana uz jaunu kopu visā vēsturē bija kaut kas diezgan izplatīts. Tā notiek, ka tā gaitā matemātika ir attīstījusies un pēc tam atbilst laika vajadzībām, tika pamanīts, ka ir skaitļi, kas nepiederēja skaitliskajai kopai, uz kuru tā atsaucās. Tā tas bija ar parādīšanos ciparu kopas veseli skaitļi, racionālie, iracionālie un reālie skaitļi, un tas nebija savādāk, kad vajadzēja paplašināt reālo skaitļu kopu līdz sarežģītu skaitļu kopai.
Kad mēs cenšamies atrisināt kvadrātvienādojumi, ir diezgan izplatīts, ka mēs atrodam negatīvā skaitļa kvadrātsakne, kuru nav iespējams atrisināt reālo skaitļu komplektā, tāpēc ir vajadzīgi kompleksi skaitļi. Šo skaitļu pētījuma sākums saņēma nozīmīgu matemātiķu, piemēram, Giralmo Cardono, ieguldījumu, taču viņu kopu formalizēja Gauss un Argand.
Lasiet arī: Komplekso skaitļu summas ģeometriskais attēlojums
kompleksa skaitļa algebriskā forma
Mēģinot atrisināt kvadrātvienādojumu, piemēram, x² = –25, tas bieži tika uzskatīts par neatrisināmu. Tomēr, mēģinot algebrizēt, algebrisko attēlojumu, kas ļauj veikt darbības ar šiem skaitļiem, pat ja jūs nevarat aprēķināt negatīvā skaitļa kvadrātsakni.
Lai atvieglotu to situāciju risināšanu, kurās jūs strādājat ar kvadrātsakne no negatīva skaitļa, iedomāta vienība.
Tātad, analizējot parādīto vienādojumu x² = -25, mums ir tas, ka:
Tādējādi vienādojuma risinājumi ir -5i e5i.
Lai definētu algebrisko formu, vēstule es, zināms kā iedomāta kompleksa skaitļa vienība. Komplekso skaitli attēlo:
z = The + Bi
Uz ko The un B ir reāli skaitļi.
: reālā daļa, kas apzīmēta ar a = Re (z);
B: iedomāta daļa, ko norāda Im (z);
i: iedomāta vienība.
Piemēri
) 2 + 3i
B) -1 + 4i
ç) 5 – 0,2i
d) -1 – 3i
kad īstā daļa ir nulle, numurs ir pazīstams kā tīra iedomāta, piemēram, -5i un 5i viņi ir tīri iztēles cilvēki, jo viņiem nav īstas daļas.
Kad iedomātā daļa ir nulle, kompleksais skaitlis ir arī reāls skaitlis.
Operācijas ar kompleksiem skaitļiem
Tāpat kā jebkurai ciparu kopai, arī operācijām jābūt labi definēts, tāpēc ir iespējams veikt četras komplekso skaitļu pamatoperācijas, ņemot vērā uzrādīto algebrisko formu.
Pievienojot divus kompleksus skaitļus
Lai veiktu papildinājums no diviem kompleksiem skaitļiem z1 un z2, mēs pievienosim z īsto daļu1 un z2 un attiecīgi iedomātās daļas summa.
Esiet:
z1 = a + bi
z2 = c + di
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)i
1. piemērs
Z summas realizācija1 un z2.
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 + 2i
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)i
z1 +z2= 3 + 5i
2. piemērs
Z summas realizācija1 un z2.
z1 = 5 – 2i
z2 = – 3 + 2i
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)i
z1+z2 = (5 – 3) + 0i
z1 +z2= 3 + 0i = 3
Skatīt arī: Komplekso skaitļu summas ģeometriskais attēlojums
Divu kompleksu skaitļu atņemšana
Pirms mēs runājam par atņemšana, mums jādefinē, kas ir kompleksā skaitļa apgrieztā vērtība, tas ir, z = a + bi. Z apgrieztais skaitlis, ko apzīmē –z, ir kompleksais skaitlis –z = –a –bi.
Lai veiktu atņemšanu starp z1un -z2, kā arī papildus mēs darīsim atņemšana starp reālām daļām un starp iedomātām daļām atsevišķi, bet ir jāsaprot, ka -z2 tas ir kompleksā skaitļa apgrieztais skaitlis, kas liek spēlēt zīmju spēli.
1. piemērs
Veicot z atņemšanu1 un z2.
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 + 2i
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)i
z1–z2= 1 + 1i = 1+ i
2. piemērs
Veicot z atņemšanu1 un z2.
z1= 5 – 2i
z2 = – 3 + 2i
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)i
z1–z2= (5 + 3) + (–4)i
z1 –z2= 8 + (–4)i
z1 –z2= 8 –4i
Iedomātas vienības pilnvaras
Pirms mēs runājam par pavairošanu, mums ir jāsaprot iztēles vienības spēks. Meklējot metodi, lai aprēķinātu iNē, ir jāapzinās, ka šie spēki izturas cikliski. Par to aprēķināsim dažus potences iekšā i.
Izrādās, ka nākamās pilnvaras ir nekas cits kā tā atkārtošana, ņemiet vērā, ka:
i 4 = i 2 · i 2 = (–1) (–1) = 1
i 5 = i 2 · i 3 = (–1) (–i) = i
Turpinot aprēķināt jaudas, atbildes vienmēr būs kopas {1, i, –1, - elementi.i}, pēc tam, lai atrastu vienības jaudu iNē, mēs dalīsim n (eksponentu) ar 4 un atpūstiesšīs nodaļas (r = {0, 1, 2, 3}) būs i.
Piemērs1
I aprēķins25
Kad mēs dalīsim 25 ar 4, koeficients būs 6, bet atlikums būs vienāds ar 1. Tāpēc mums ir:
i 25 = i1 = i
2. piemērs
Aprēķināšana i 403
Kad mēs dalīsim 403 ar 4, koeficients būs 100, jo 100 · 4 = 400, bet pārējais būs 3, tāpēc mums ir:
i 403 =i 3 = -i
Sarežģītu skaitļu reizināšana
Lai veiktu divu kompleksu skaitļu reizināšanu, izmantosim sadales īpašums. Esiet:
z1= a + bi
z2= c + di, tad produkts:
z1 · z2 = (a + bi) (c + di), piemērojot sadales īpašumu,
z1 · z2 = ac + reklāmai + cbi + bdi 2, bet, kā mēs redzējām, i ² = -1
z1 · z2 = ac + reklāmai + cbes - bd
z1 · z2= (ac – bd) + (ad + cb)i
Izmantojot šo formulu, ir iespējams atrast jebkuru divu komplekso skaitļu reizinājumu, bet a Parasti tas nav dekorēts, jo, lai veiktu attiecīgo aprēķinu, mēs vienkārši lietojam īpašumu izplatošs.
Piemērs
Produkta (2 + 3i) (1 – 4i):
(2+3i) (1 – 4i) = 2 – 8i + 3i– 12i ², to atceroties i² = -1:
(2 + 3i) (1 – 4i) = 2 – 8i + 3i+ 12
(2 + 3i) (1 – 4i) = (2 + 12) + (– 8 + 3)i
(2+3i) (1 – 4i) = 14 – 5i
Piekļūstiet arī: Sarežģītu skaitļu saskaitīšana, atņemšana un reizināšana
Komplekss skaitļu konjugāts
Pirms mēs runājam par dalīšanu, mums ir jāsaprot, kas ir kompleksa skaitļa konjugāts. Koncepcija ir vienkārša, lai atrastu kompleksa skaitļa konjugātu apmainītiesmos iedomātās daļas zīme.
divu kompleksu skaitļu dalīšana
Lai veiktu divu kompleksu skaitļu dalīšana, mums ir jāreizina frakcija ar saucēja konjugātu, lai labi definētu to, kas ir īstā un kas ir iedomātā.
Piemērs
(6 - 4. Dalījuma aprēķinsi): (4 + 2i)
Skatīt arī: Komplekso skaitļu pretstats, konjugāts un vienādība
Kompleksa plakne vai Arganda-Gausa plakne
Pazīstams kā sarežģīts plāns vai Plānsrgand-gauss, viņš atļauj attēlojums ģeometriskā formā no kompleksa numura šis plāns ir pielāgojums Dekarta plakne lai attēlotu kompleksus skaitļus. Horizontālā ass ir pazīstama kā reālās daļas ass Re (z), un vertikālā ass ir pazīstama kā iedomātās daļas ass Im (z). Tātad kompleksais skaitlis, ko pārstāv a + bi ģenerē punktus sarežģītajā plaknē, ko veido sakārtotais pāris (a, b).
Piemērs
Skaitļa 3 + 2 attēlojumsi ģeometriskā formā Z (3,2).
Kompleksā skaitļa modulis un arguments
Kompleksā skaitļa modulis ģeometriski ir attālums no punkta (a, b) kas simbolizē šo skaitli sarežģītajā plaknē uz izcelsmi, tas ir, punkts (0,0).
Kā redzam, | z | ir Hipotenūza taisns trīsstūris, tāpēc to var aprēķināt, izmantojot Pitagora teorēma, tāpēc mums ir:
Piemērs:
Z = 1 + 3 moduļa aprēķinsi
O Thearguments no kompleksa skaitļa ģeometriski ir leņķis ko veido horizontālā ass un | z |
Lai atrastu leņķa vērtību, mums:
Mērķis ir atrast leņķi θ = arg z.
Piemērs:
Atrodiet kompleksa skaitļa argumentu: z = 2 + 2i:
Tā kā a un b ir pozitīvi, mēs zinām, ka šis leņķis ir pirmajā kvadrantā, tāpēc aprēķināsim | z |.
Zinot | z |, ir iespējams aprēķināt sinusu un kosinusu.
Tā kā šajā gadījumā a un b ir vienādi ar 2, tad, aprēķinot grēkuθ, mēs atradīsim to pašu kosinusa risinājumu.
Zinot grēka un cosθ vērtības, iepazīstoties ar ievērojamo leņķu tabulu un zinot to θ pieder pie pirmā kvadranta, tāpēc θ var atrast grādos vai radiānos, tāpēc secinām kas:
Trigonometriskā vai polārā forma
Kompleksa numura attēlojums trigonometriskā forma tas ir iespējams tikai pēc tam, kad esam sapratuši moduļa un argumenta jēdzienu. Pamatojoties uz šo attēlojumu, tiek izstrādāti svarīgi jēdzieni kompleksu skaitļu izpētei augstākā līmenī. Lai veiktu trigonometrisko attēlojumu, mēs atcerēsimies tā algebrisko formu z = a + bi, tomēr, analizējot sarežģīto plakni, mums:
Algebriskā formā aizvietojot a = | z | vērtības cos θ un b = | z | sen θ, mums:
z = a + bi
Ar z = | z | cos θ + | z | senθ es, liekot | z | pierādījumos mēs nonākam pie trigonometriskās formas formulas:
z = | z | (cos θ + i · Grēks θ) |
Piemērs: Trigonometriskā formā uzrakstiet skaitli
Lai rakstītu trigonometriskā formā, mums ir vajadzīgs arguments un z modulis.
1. solis - | z | aprēķins
Zinot | z |, ir iespējams atrast θ vērtību, aplūkojot ievērojamo leņķu tabulu.
Tagad ir iespējams rakstīt skaitli z trigonometriskā formā ar leņķi grādos vai ar leņķi, kas izmērīts radiānos.
Lasiet arī: Komplekso skaitļu izstarošana trigonometriskā formā
Vingrinājumi atrisināti
Jautājums 1 - (UFRGS) Ņemot vērā kompleksos skaitļus z1 = (2, –1) un z2 = (3, x), ir zināms, ka reizinājums starp z1 un z2 ir reāls skaitlis. Tātad x ir vienāds ar:
a) -6
b) -3/2
c) 0
d) 3/2
e) 6
Izšķirtspēja
D alternatīva
Lai reizinājums būtu reāls skaitlis, iedomātā daļa ir vienāda ar nulli.
Rakstot šos skaitļus algebriskā formā, mums:
z1 = 2 – 1i un z2 = 3 + xi
z1 · Z2 = (2 – 1i) (3 + xi)
z1 · Z2 = 6 + 2xi –3es - xi ²
z1 · Z2 = 6 + 2xi –3i + x
z1 · Z2 = 6+ x + (2x - 3)i
Tā kā mūsu interese ir tāda, ka iedomātā daļa ir vienāda ar nulli, tad mēs atrisināsim 2x - 3 = 0
2. jautājums - (UECE) Ja i ir kompleksais skaitlis, kura kvadrāts ir vienāds ar -1, tad vērtība 5i 227 + i 6 – i 13 tas ir tāds pats kā:
) i + 1
b) 4i –1
c) -6i –1
d) -6i
Izšķirtspēja
C alternatīva
Lai atrisinātu šo izteicienu, jāatrod katra skaitļa atlikums, dalot ar 4.
227: 4 rezultāts ir 56 un atlikušo 3 koeficients.
i 227 = i 3 = –i
6: 4 rezultāts ir koeficients 1 un atlikums 2.
i 6 = i 2 = –1
13: 4 rezultāts ir koeficients 3 un atlikums 1.
i 13 = i1 = i
Tāpēc mums ir:
5i 227 + i 6 – i 13
5 (–i) + (–1) – i
–5i –1 – i
–6i – 1
Autors Rauls Rodrigess de Oliveira
Matemātikas skolotājs
Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm
