simetriskā matrica ir štābs kurā katrs elements \(a_{ij}\) ir vienāds ar elementu \(a_{ji}\) visām i un j vērtībām. Līdz ar to katra simetriskā matrica ir vienāda ar tās transponēšanu. Ir arī vērts pieminēt, ka katra simetriskā matrica ir kvadrātveida un ka galvenā diagonāle darbojas kā simetrijas ass.
Izlasi arī:Matricas saskaitīšana un atņemšana — kā aprēķināt?
Abstrakts par simetrisko matricu
Simetriskā matricā, \(a_{ij}=a_{ji}\) visiem i un j.
Katra simetriskā matrica ir kvadrātveida.
Katra simetriskā matrica ir vienāda ar tās transponēšanu.
Simetriskas matricas elementi ir simetriski attiecībā pret galveno diagonāli.
Atrodoties simetriskā matricā \(a_{ij}=a_{ji}\) visiem i un j; antisimetriskā matricā, \(a_{ij}=-a_{ji}\) visiem i un j.
Kas ir simetriskā matrica?
Simetriska matrica ir kvadrātveida matrica, kur \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) par katru i un katru j. Tas nozīmē ka \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\)un tā tālāk visām iespējamām i un j vērtībām. Atcerieties, ka iespējamās i vērtības atbilst matricas rindām un iespējamās j vērtības atbilst matricas kolonnām.
Simetrisko matricu piemēri
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Nesimetrisku matricu piemēri (apsveriet \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Svarīgs: Teikt, ka matrica nav simetriska, nozīmē to parādīt \(a_{ij}≠a_{ji}\) vismaz dažiem i un j (ko varam redzēt, salīdzinot iepriekšējos piemērus). Tas atšķiras no antisimetriskās matricas koncepcijas, ko mēs redzēsim vēlāk.
Kādas ir simetriskās matricas īpašības?
Katra simetriskā matrica ir kvadrātveida
Ņemiet vērā, ka simetriskas matricas definīcijas pamatā ir kvadrātveida matricas. Tādējādi katrai simetriskajai matricai ir tāds pats rindu skaits kā kolonnu skaits.
Katra simetriskā matrica ir vienāda ar tās transponēšanu
Ja A ir matrica, tā transponēts (\(A^T\)) ir definēta kā matrica, kuras rindas ir A kolonnas un kuras kolonnas ir A rindas. Tātad, ja A ir simetriska matrica, mums ir \(A=A^T\).
Simetriskajā matricā elementi tiek “atspoguļoti” attiecībā pret galveno diagonāli
Kā \(a_{ij}=a_{ji}\) simetriskā matricā elementi virs galvenās diagonāles ir zemāk esošo elementu “atspulgi”. diagonāles (vai otrādi) attiecībā pret diagonāli, lai galvenā diagonāle darbotos kā diagonāles ass. simetrija.
Kādas ir atšķirības starp simetrisko matricu un antisimetrisko matricu?
Ja A ir simetriska matrica, tad \(a_{ij}=a_{ji}\) visiem i un visiem j, kā mēs pētījām. Antisimetriskās matricas gadījumā situācija ir atšķirīga. Ja B ir antisimetriska matrica, tad \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) par katru i un katru j.
Ņemiet vērā, ka tā rezultātā \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), tas ir, galvenie diagonālie elementi ir nulle. No tā izriet, ka antisimetriskas matricas transponēšana ir vienāda ar tās pretstatu, tas ir, ja B ir antisimetriska matrica, tad \(B^T=-B\).
Antisimetrisko matricu piemēri
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Skatīt arī: Identitātes matrica — matrica, kurā galvenie diagonālie elementi ir vienādi ar 1 un pārējie elementi ir vienādi ar 0
Risināti vingrinājumi uz simetriskas matricas
jautājums 1
(Unicentro)
ja matrica \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) ir simetrisks, tāpēc xy vērtība ir:
A) 6
B) 4
C) 2
D) 1
E) -6
Izšķirtspēja:
Alternatīva A
Ja dotā matrica ir simetriska, tad elementi simetriskās pozīcijās ir vienādi (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Tāpēc mums ir:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
Nomainot pirmo vienādojums otrajā mēs to secinām \(y=3\), drīzumā:
\(x=2\) Tas ir \(xy=6\)
2. jautājums
(UFSM) Zinot, ka matrica \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) ir vienāds ar tā transponēšanas vērtību \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
C) -1
D) 11
E) 23
Izšķirtspēja:
Alternatīva C
Tā kā dotā matrica ir vienāda ar tās transponēšanu, tad tā ir simetriska matrica. Tādējādi elementi simetriskās pozīcijās ir vienādi (\(a_{ij}=a_{ji}\)), t.i.:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
Pēc pirmā vienādojuma x=-6 vai x=6. Izmantojot trešo vienādojumu, mēs iegūstam pareizo atbildi: x= -6. Ar otro vienādojumu, y=11.
Drīzumā:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Autore: Maria Luiza Alves Rizzo
Matemātikas skolotājs
Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm
