Simetriskā matrica: kas tas ir, piemēri, īpašības

simetriskā matrica ir štābs kurā katrs elements \(a_{ij}\) ir vienāds ar elementu \(a_{ji}\) visām i un j vērtībām. Līdz ar to katra simetriskā matrica ir vienāda ar tās transponēšanu. Ir arī vērts pieminēt, ka katra simetriskā matrica ir kvadrātveida un ka galvenā diagonāle darbojas kā simetrijas ass.

Izlasi arī:Matricas saskaitīšana un atņemšana — kā aprēķināt?

Šī raksta tēmas

1. Kopsavilkums par simetrisko matricu
2 - Kas ir simetriskā matrica?
3. Kādas ir simetriskās matricas īpašības?
4 - Kādas ir atšķirības starp simetrisko matricu un antisimetrisko matricu?
5 - Atrisināti vingrinājumi uz simetriskas matricas

Abstrakts par simetrisko matricu

Simetriskā matricā, \(a_{ij}=a_{ji}\) visiem i un j.
Katra simetriskā matrica ir kvadrātveida.
Katra simetriskā matrica ir vienāda ar tās transponēšanu.
Simetriskas matricas elementi ir simetriski attiecībā pret galveno diagonāli.
Atrodoties simetriskā matricā \(a_{ij}=a_{ji}\) visiem i un j; antisimetriskā matricā, \(a_{ij}=-a_{ji}\) visiem i un j.

Kas ir simetriskā matrica?

instagram story viewer

Simetriska matrica ir kvadrātveida matrica, kur \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) par katru i un katru j. Tas nozīmē ka \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\)un tā tālāk visām iespējamām i un j vērtībām. Atcerieties, ka iespējamās i vērtības atbilst matricas rindām un iespējamās j vērtības atbilst matricas kolonnām.

Simetrisko matricu piemēri

\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)

Nesimetrisku matricu piemēri (apsveriet \(\mathbf{b≠g}\))

\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)

Svarīgs: Teikt, ka matrica nav simetriska, nozīmē to parādīt \(a_{ij}≠a_{ji}\) vismaz dažiem i un j (ko varam redzēt, salīdzinot iepriekšējos piemērus). Tas atšķiras no antisimetriskās matricas koncepcijas, ko mēs redzēsim vēlāk.

Nepārtrauciet tagad... Pēc publicitātes ir vēl kas ;)

Kādas ir simetriskās matricas īpašības?

Katra simetriskā matrica ir kvadrātveida

Ņemiet vērā, ka simetriskas matricas definīcijas pamatā ir kvadrātveida matricas. Tādējādi katrai simetriskajai matricai ir tāds pats rindu skaits kā kolonnu skaits.

Katra simetriskā matrica ir vienāda ar tās transponēšanu

Ja A ir matrica, tā transponēts (\(A^T\)) ir definēta kā matrica, kuras rindas ir A kolonnas un kuras kolonnas ir A rindas. Tātad, ja A ir simetriska matrica, mums ir \(A=A^T\).

Simetriskajā matricā elementi tiek “atspoguļoti” attiecībā pret galveno diagonāli

Kā \(a_{ij}=a_{ji}\) simetriskā matricā elementi virs galvenās diagonāles ir zemāk esošo elementu “atspulgi”. diagonāles (vai otrādi) attiecībā pret diagonāli, lai galvenā diagonāle darbotos kā diagonāles ass. simetrija.

Kādas ir atšķirības starp simetrisko matricu un antisimetrisko matricu?

Ja A ir simetriska matrica, tad \(a_{ij}=a_{ji}\) visiem i un visiem j, kā mēs pētījām. Antisimetriskās matricas gadījumā situācija ir atšķirīga. Ja B ir antisimetriska matrica, tad \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) par katru i un katru j.

Ņemiet vērā, ka tā rezultātā \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), tas ir, galvenie diagonālie elementi ir nulle. No tā izriet, ka antisimetriskas matricas transponēšana ir vienāda ar tās pretstatu, tas ir, ja B ir antisimetriska matrica, tad \(B^T=-B\).

Antisimetrisko matricu piemēri

\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)

Skatīt arī: Identitātes matrica — matrica, kurā galvenie diagonālie elementi ir vienādi ar 1 un pārējie elementi ir vienādi ar 0

Risināti vingrinājumi uz simetriskas matricas

jautājums 1

(Unicentro)

ja matrica \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) ir simetrisks, tāpēc xy vērtība ir:

A) 6

B) 4

C) 2

D) 1

E) -6

Izšķirtspēja:

Alternatīva A

Ja dotā matrica ir simetriska, tad elementi simetriskās pozīcijās ir vienādi (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Tāpēc mums ir:

\(x = y - 1\)

\(x + 5 = 7\)

Nomainot pirmo vienādojums otrajā mēs to secinām \(y=3\), drīzumā:

\(x=2\) Tas ir \(xy=6\)

2. jautājums

(UFSM) Zinot, ka matrica \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) ir vienāds ar tā transponēšanas vērtību \(2x+y\) é:

A) -23

B) -11

C) -1

D) 11

E) 23

Izšķirtspēja:

Alternatīva C

Tā kā dotā matrica ir vienāda ar tās transponēšanu, tad tā ir simetriska matrica. Tādējādi elementi simetriskās pozīcijās ir vienādi (\(a_{ij}=a_{ji}\)), t.i.:

\(x^2=36\)

\(4-y=-7\)

\(-30=5x\)

Pēc pirmā vienādojuma x=-6 vai x=6. Izmantojot trešo vienādojumu, mēs iegūstam pareizo atbildi: x= -6. Ar otro vienādojumu, y=11.

Drīzumā:

\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)

Autore: Maria Luiza Alves Rizzo
Matemātikas skolotājs

Vai vēlaties atsaukties uz šo tekstu kādā skolā vai akadēmiskajā darbā? Skaties:

RIZZO, Marija Luiza Alvesa. "Simetriskā matrica"; Brazīlijas skola. Pieejams: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm. Skatīts 2023. gada 18. jūlijā.

Šeit ir jāsaprot matricas struktūras definīcijas un formalizācijas. Skatiet arī, kā darbināt tā elementus un dažādus matricu veidus.

Noklikšķiniet šeit un uzziniet par identitātes matricu, neitrālu matricas reizināšanas elementu. Uzziniet arī, kā izveidot šo īpašo matricas veidu.

Izprotiet, kas ir transponēšanas matrica. Zināt transponētās matricas īpašības. Uzziniet, kā atrast dotās matricas transponēto matricu.

Uzziniet, kas ir simetrija, un uzziniet, kādi ir tās veidi. Skatiet arī piemērus un šīs parādības nozīmi.

Matrica, matricu tips, matricu secība, rindu matrica, kolonnu matrica, nulles matrica, matrica kvadrāts, diagonālā matrica, identitātes matrica, pretējā matrica, matrica, vienādā matrica, vienādība matricas.