Viena no metodēm, ko izmanto, lai atrisinātu kvadrātvienādojumi ir metode, kas pazīstama kā pilni kvadrāti. Šī metode sastāv no interpretācijas vienādojums gada otraisgrāds kā ideāls kvadrātveida trinoms un uzrakstiet savu faktorēto veidlapu. Dažreiz šī vienkāršā procedūra jau atklāj vienādojuma saknes.
Tāpēc ir nepieciešamas pamatzināšanas par ievērojami produkti, trinomiālskvadrātsLieliski un polinoma faktorizācija izmantot šo paņēmienu. Tomēr bieži tas ļauj veikt aprēķinus "galvā".
Tāpēc mēs atgādināsim trīs gadījumus produktiemievērojams pirms demonstrējat metodilai pabeigtulaukumi, kas, savukārt, tiks atklāts trīs dažādos gadījumos.
Izcili produkti un perfekti kvadrātveida trinomi
Pēc tam skatiet ievērojamo produktu trinomiālskvadrātsLieliski kas ir līdzvērtīgs tam un formai faktors attiecīgi no šī trinoma. Lai to izdarītu, uzskatiet, ka x nav zināms un The ir jebkurš reāls skaitlis.
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2 = (x + k) (x + k)
(x - k)2 = x2 - 2kx + k2 = (x - k) (x - k)
Otrās pakāpes vienādojums, kas attiecas uz trešo
produktuievērojams, kas pazīstams kā summas un starpības reizinājums, var atrisināt, izmantojot tehniku, kas vēl vairāk atvieglo aprēķinus. Rezultātā tas šeit netiks izskatīts.Vienādojums ir ideāls kvadrātveida trinoms
Ja viens vienādojums gada otraisgrāds ir ideāls kvadrātveida trinoms, tad jūs varat noteikt tā koeficientus kā: a = 1, b = 2k vai - 2k un c = k2. Lai to pārbaudītu, vienkārši salīdziniet kvadrātvienādojumu ar a trinomiālskvadrātsLieliski.
Tāpēc šķīdumā vienādojums gada otraisgrāds x2 + 2kx + k2 = 0, mums vienmēr būs iespēja:
x2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
√ [(x + k)2] = √0
| x + k | = 0
x + k = 0
x = - k
- x - k = 0
x = - k
Tādējādi risinājums ir unikāls un vienāds ar –k.
Ja vienādojums būt x2 - 2kx + k2 = 0, mēs varam darīt to pašu:
x2 - 2kx + k2 = 0
(x - k)2 = 0
√ [(x - k)2] = √0
| x - k | = 0
x - k = 0
x = k
- x + k = 0
- x = - k
x = k
Tāpēc risinājums ir unikāls un vienāds ar k.
Piemērs: Kādas ir saknes vienādojums x2 + 16x + 64 = 0?
Ņemiet vērā, ka vienādojums ir a trinomiālskvadrātsLieliski, jo 2k = 16, kur k = 8, un k2 = 64, kur k = 8. Lai mēs varētu rakstīt:
x2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
√ [(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = - 8
Šeit rezultāts ir vienkāršots, jo mēs jau zinām, ka abi risinājumi būs vienādi ar to pašu reālo skaitli.
Vienādojums nav ideāls kvadrātveida trinoms
Gadījumos, kad vienādojums gada otraisgrāds nav ideāls kvadrātveida trinoms, lai aprēķinātu tā rezultātus, mēs varam apsvērt šādu hipotēzi:
x2 + 2kx + C = 0
Ņemiet vērā, ka, lai šis vienādojums pārvērstos par a trinomiālskvadrātsLieliski, vienkārši aizstājiet C vērtību ar k vērtību2. Tā kā tas ir vienādojums, vienīgais veids, kā to izdarīt, ir pievienot k2 abiem locekļiem, pēc tam mainot dalībnieka koeficientu C. Skatīties:
x2 + 2kx + C = 0
x2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
x2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
Pēc šīs procedūras mēs varam turpināt iepriekšējo paņēmienu, pārveidojot trinomiālskvadrātsLieliski vērā ievērojamu produktu un aprēķinot kvadrātveida saknes abās ekstremitātēs.
x2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
(x + k)2 = k2 - Ç
√ [(x + k)2] = √ (k2 - Ç)
x + k = ± √ (k2 - Ç)
± zīme parādās ikreiz, kad a vienādojums ir kvadrātsakne, jo šajos gadījumos kvadrātsaknes rezultāts ir a modulis, kā parādīts pirmajā piemērā. Visbeidzot, atliek tikai darīt:
x = - k ± √ (k2 - Ç)
Tātad, šie vienādojumi ir divi rezultāti īsts un atšķirīgs, vai nav reāla rezultāta, kad C> k2.
Piemēram, aprēķiniet x saknes2 + 6x + 8 = 0.
Risinājums: Ņemiet vērā, ka 6 = 2,3x. Tādējādi k = 3 un tāpēc k2 = 9. Tāpēc skaitlis, kas mums jāpievieno abiem locekļiem, ir vienāds ar 9:
x2 + 6x + 8 = 0
x2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
x2 + 6x + 9 = 9 - 8
x2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
√ [(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1 - 3
x ’= 1 - 3 = - 2
x ’’ = - 1 - 3 = - 4
Šajā gadījumā koeficients a ≠ 1
kad koeficients The, dod vienādojums gada otraisgrāds, atšķiras no 1, vienkārši sadaliet visu vienādojumu ar koeficienta skaitlisko vērtību The lai pēc tam piemērotu vienu no divām iepriekšējām metodēm.
Tātad, 2x vienādojumā2 + 32x + 128 = 0, mums unikālā sakne ir vienāda ar 8, jo:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
x2 + 16x + 64 = 0
Un 3x vienādojumā2 + 18x + 24 = 0, mums ir saknes - 2 un - 4, jo:
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
x2 + 6x + 8 = 0
Autors Luizs Paulo Moreira
Beidzis matemātiku
Avots: Brazīlijas skola - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-metodo-completar-quadrados.htm
