THE Iekšējā bisektoru teorēma tika īpaši izstrādāta priekš trijstūri un parāda, ka, izsekojot trijstūra leņķa iekšējo bisektrisi, bisektora satikšanās punkts ar tai pretējo pusi sadala šo pusi līniju segmenti proporcionāli šī leņķa blakus esošajām malām. Ar iekšējās bisektoru teorēmas pielietojumu ir iespējams noteikt trijstūra malas vai segmentu vērtību, izmantojot proporciju starp tiem.
Skatīt arī: Mediāna, leņķa bisektrise un trijstūra augstums — kāda ir atšķirība?
Kopsavilkums par iekšējo bisektoru teorēmu:
Bisektrise ir a stars kas sadala leņķi divos kongruentos leņķos.
Iekšējā bisektoru teorēma ir raksturīga trijstūriem.
Šī teorēma pierāda, ka bisektrise sadala pretējo pusi proporcionāli segmenti uz blakus esošajām pusēm leņķis.
Video nodarbība par iekšējo bisektoru teorēmu
Nepārtrauciet tagad... Pēc sludinājuma ir vēl kas ;)
Kas ir bisektoru teorēma?
Pirms mēs saprotam iekšējās bisektoru teorēmas teikto, ir svarīgi zināt, kas ir leņķa bisektrise. Tas ir stars, kas sadala leņķi divās kongruentās daļās., tas ir, divas daļas, kurām ir vienāds mērs.
Saprotot, kas ir bisektrise, mēs pamanām, ka tā pastāv trijstūra iekšējā leņķī. Nozīmējot trijstūra leņķa bisektrisi, tā sadalīs pretējo malu divos segmentos. Attiecībā uz iekšējo bisektoru, tā teorēma saka, ka divi ar to dalītie segmenti ir proporcionāli leņķa blakus esošajām malām.
Ņemiet vērā, ka bisektrise sadala sānu maiņstrāvu divos segmentos: AD un DC. Bisektoru teorēma to parāda:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
Uzziniet vairāk: Pitagora teorēma — vēl viena teorēma, kas izstrādāta trijstūriem
Iekšējās bisektoru teorēmas pierādījums
Tālāk esošajā trijstūrī ABC mēs norobežosim segmentu BD, kas ir šī trijstūra bisektrise. Turklāt mēs izsekosim tā sānu CB pagarinājumu un segmentu AE paralēli BD:
Leņķis AEB ir kongruents ar leņķi DBC, jo CE ir a taisni šķērsvirziena paralēlajiem segmentiem AE un BD.
piemērojot Tāla teorēma, mēs secinājām, ka:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Tagad mēs atliek parādīt, ka BE = AB.
Tā kā x ir leņķa ABD un DBC mērs, analizējot leņķi ABE, mēs iegūstam:
ABE = 180 - 2x
Ja y ir leņķa EAB mērs, mums ir šāda situācija:
Mēs zinām, ka trijstūra iekšējo leņķu summa ABE ir 180°, tāpēc mēs varam aprēķināt:
180 - 2x + x + y = 180
– x + y = 180–180
– x + y = 0
y = x
Ja leņķim x un leņķim y ir vienāds mērs, trijstūris ABE ir vienādsānu. Tāpēc mala AB = AE.
Tā kā trijstūra iekšējo leņķu summa vienmēr ir vienāda ar 180°, trijstūrī ACE mums ir:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180–180
– x + y = 0
y = x
Tā kā y = x, trijstūris ACE ir vienādsānu. Tāpēc segmenti AE un AC ir kongruenti. AE nomaiņa pret AC in iemesls, ir pierādīts, ka:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Piemērs:
Atrodiet x vērtību šādā trīsstūrī:
Analizējot trīsstūri, mēs iegūstam šādu attiecību:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
Šķērsreizināšana:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
x = 4
Izlasi arī: Ievērojami trīsstūra punkti - kas tie ir?
Risināti uzdevumi par iekšējās bisektoru teorēmu
jautājums 1
Aplūkojot zemāk redzamo trīsstūri, mēs varam teikt, ka x vērtība ir:
a) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Izšķirtspēja:
Alternatīva D
Piemērojot iekšējo bisektoru teorēmu, mēs iegūstam šādu aprēķinu:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
Šķērsreizināšana:
\(27x=18\ \left (30-x\right)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
2. jautājums
Analizējiet šo trīsstūri, zinot, ka jūsu mērījumi ir doti centimetros.
Trijstūra ABC perimetrs ir vienāds ar:
A) 75 cm
B) 56 cm
C) 48 cm
D) 24 cm
E) 7,5 cm
Izšķirtspēja:
Alternatīva C
Lietojot bisektoru teorēmu, vispirms atradīsim x vērtību:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \left (4x-9\right)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7,5\)
Tādējādi nezināmās puses mēra:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
Atceroties, ka mērierīces garums tika izmantots cm, the perimetrs šī trīsstūra ir vienāds ar:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm
Rauls Rodrigess de Oliveira
Matemātikas skolotājs
Vai vēlaties atsaukties uz šo tekstu kādā skolā vai akadēmiskajā darbā? Skaties:
OLIVEIRA, Rauls Rodrigess de. "Iekšējā bisektoru teorēma"; Brazīlijas skola. Pieejams: https://preprod.brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm. Skatīts 04.04.2022.
