Vektors ir attēlojums, kas nosaka vektora lieluma lielumu, virzienu un virzienu. Vektori ir taisni segmenti, kas orientēti ar bultiņu vienā galā.
Mēs nosaucam vektorus ar burtu un mazu bultiņu.
Vektori raksturo vektoru lielumus, kas ir lielumi, kuriem nepieciešama orientācija, tas ir, virziens un virziens. Daži piemēri: spēks, ātrums, paātrinājums un pārvietojums. Ar skaitlisko vērtību nepietiek, ir jāapraksta, kur šie lielumi darbojas.
vektora modulis
Vektora modulis jeb intensitāte ir tā skaitliskā vērtība, kam seko tā attēlotā lieluma mērvienība, piemēram:
Mēs norādām moduli starp stieņiem, saglabājot bultiņu vai, tikai burtu, bez joslām un bez bultiņas.
Vektora garums ir proporcionāls modulim. Lielāks vektors apzīmē lielāku moduli.
vektora modulis ir 4 vienības, savukārt vektors
ir 2 vienības.
Vektora virziens
Vektora virziens ir atbalsta līnijas slīpums, uz kura tas ir noteikts. Katram vektoram ir tikai viens virziens.
vektora sajūta
Vektora virzienu parāda bultiņa. Vienā un tajā pašā virzienā var būt divi virzieni, piemēram, uz augšu vai uz leju un pa kreisi vai pa labi.
Pieņemot virzienu kā pozitīvu, pretējais virziens, negatīvs, tiek attēlots ar mīnusa zīmi pirms vektora simbola.
Iegūtais vektors
Iegūtais vektors ir vektoru darbību rezultāts un ir līdzvērtīgs vektoru kopai. Ir ērti zināt vektoru, kas atspoguļo vairāk nekā viena vektora radīto efektu.
Piemēram, ķermenis var būt pakļauts spēku kopumam, un mēs vēlamies zināt, kādu rezultātu tie radīs kopā uz šo ķermeni. Katrs spēks ir attēlots ar vektoru, bet rezultātu var attēlot tikai ar vienu vektoru: rezultāta vektoru.
Iegūtais vektors, , horizontālā virzienā un virzienā pa labi, ir vektoru saskaitīšanas un atņemšanas rezultāts.
,
,
un
. Iegūtais vektors parāda tendenci ķermenim pārvietoties šajā orientācijā.
Vektoriem ar vertikālu virzienu ir vienāds izmērs, tas ir, viens un tas pats modulis. Tā kā tiem ir pretēja nozīme, tie atceļ viens otru. Tas parāda, ka kaste nekustēsies vertikālā virzienā.
Analizējot vektorus un
, kuriem ir vienāds virziens un pretēji virzieni, mēs saprotam, ka daļa spēka "paliek" pa labi, kā vektors
ir lielāks par
, tas ir, modulis
tas ir lielāks.
Lai noteiktu iegūto vektoru, veicam vektoru saskaitīšanas un atņemšanas darbības.
Viena virziena vektoru saskaitīšana un atņemšana
Ar vienādas sajūtas, pievienojam moduļus un saglabājam virzienu un virzienu.
Piemērs:
Grafiski izvietojam vektorus secīgi, nemainot to moduļus. Viena sākumam jāsakrīt ar otra beigām.
Komutatīvais saskaitīšanas īpašums ir spēkā, jo secība nemaina rezultātu.
Ar pretējas sajūtas, mēs atņemam moduļus un saglabājam virzienu. Iegūtā vektora virziens ir vektora ar lielāko moduli virziens.
Piemērs:
vektoru ir atlikušā daļa
, pēc izņemšanas
.
Viena vektora atņemšana ir līdzvērtīga saskaitīšanai ar pretēju otram.
Perpendikulāru vektoru saskaitīšana un atņemšana
Lai pievienotu divus vektorus ar perpendikulāriem virzieniem, mēs pārvietojam vektorus, nemainot to moduli, lai viena sākums sakristu ar otra beigām.
Iegūtais vektors saista pirmā sākumu ar otrās beigām.
Lai noteiktu iegūtā vektora lielumu starp diviem perpendikulāriem vektoriem, mēs saskaņojam abu vektoru sākumu.
Iegūtā vektora moduli nosaka Pitagora teorēma.
Slīpu vektoru saskaitīšana un atņemšana
Divi vektori ir slīpi, ja tie veido leņķi starp saviem virzieniem, kas nav 0°, 90° un 180°. Lai pievienotu vai atņemtu slīpos vektorus, izmanto paralelogramu un daudzstūra līniju metodes.
paralelogramu metode
Lai veiktu paralelograma metodi vai noteikumu starp diviem vektoriem un uzzīmētu iegūto vektoru, mēs rīkojamies šādi:
Pirmais solis ir novietot to sākumpunktus vienā un tajā pašā punktā un novilkt līnijas, kas ir paralēlas vektoriem, lai izveidotu paralelogramu.
Otrais ir uzzīmēt diagonālo vektoru uz paralelograma, starp vektoru savienojumu un paralēlo līniju savienojumu.
Punktētās līnijas ir paralēlas vektoriem, un izveidotā ģeometriskā figūra ir paralelograms.
Iegūtais vektors ir līnija, kas savieno vektoru izcelsmi ar paralēlēm.
O iegūtā vektora modulis tiek iegūts ar kosinusa likumu.
Kur:
R ir iegūtā vektora lielums;
a ir vektora modulis ;
b ir vektora modulis ;
ir leņķis, kas veidojas starp vektoru virzieniem.
Paralelogramu metodi izmanto, lai pievienotu vektoru pāri. Ja vēlaties pievienot vairāk nekā divus vektorus, tie ir jāpievieno pa diviem. Vektoram, kas iegūts no pirmo divu summas, mēs pievienojam trešo un tā tālāk.
Vēl viens veids, kā pievienot vairāk nekā divus vektorus, ir izmantot daudzstūru līniju metodi.
daudzstūra līniju metode
Daudzstūru līniju metodi izmanto, lai atrastu vektoru, kas iegūts, pievienojot vektorus. Šī metode ir īpaši noderīga, pievienojot vairāk nekā divus vektorus, piemēram, šādus vektorus ,
,
un
.
Lai izmantotu šo metodi, mums ir jāsakārto vektori tā, lai vienas (bultiņas) beigas sakristu ar otras sākumu. Ir svarīgi saglabāt moduli, virzienu un virzienu.
Pēc visu vektoru sakārtošanas daudzstūra līnijas veidā mums ir jāizseko iegūtajam vektoram, kas iet no pirmā sākuma līdz pēdējā beigām.
Ir svarīgi, lai iegūtais vektors aizvērtu daudzstūri, tā bultiņai sakrītot ar bultiņu pēdējā vektorā.
Komutatīvā īpašība ir spēkā, jo secība, kādā mēs ievietojam diagrammas vektorus, nemaina iegūto vektoru.
vektoru dekompozīcija
Lai sadalītu vektoru, ir jāuzraksta komponenti, kas veido šo vektoru. Šie komponenti ir citi vektori.
Katru vektoru var uzrakstīt kā citu vektoru kompozīciju, izmantojot vektoru summu. Citiem vārdiem sakot, mēs varam uzrakstīt vektoru kā divu vektoru summu, ko mēs saucam par komponentiem.
Izmantojot Dekarta koordinātu sistēmu, ar perpendikulārām x un y asīm, mēs nosakām vektora sastāvdaļas.
vektoru ir vektoru summas rezultāts starp komponentu vektoriem.
un
.
vektoru slīpums
veido taisnleņķa trīsstūri ar x asi. Tādējādi mēs nosakām komponentu vektoru moduļus, izmantojot trigonometriju.
Komponentu moduļa ax.
Komponentu modulis ay.
vektora modulis ir iegūts no Pitagora teorēmas.
Piemērs
Spēks tiek veikts, velkot bloku no zemes. 50 N moduļa spēks ir noliekts par 30° no horizontāles. Nosakiet šī spēka horizontālo un vertikālo komponentu.
Dati:
Reāla skaitļa reizināšana ar vektoru
Reizinot reālu skaitli ar vektoru, rezultāts būs jauns vektors, kuram ir šādas īpašības:
- Tas pats virziens, ja reālais skaitlis nav nulle;
- Tajā pašā virzienā, ja reālais skaitlis ir pozitīvs, un pretējā virzienā, ja tas ir negatīvs;
- Modulis būs reālā skaitļa moduļa un reizinātā vektora moduļa reizinājums.
Produkts starp reālu skaitli un vektoru
Kur: ir vektors, kas iegūts reizināšanas rezultātā;
ir reālais skaitlis;
ir vektors, kas tiek reizināts.
Piemērs
Pieņemsim, ka reālais skaitlis n = 3 un vektors modulo 2, reizinājums starp tiem ir vienāds ar:
Moduļa aprēķins
Virziens un virziens būs vienāds.
1. vingrinājums
(Enem 2011) Berzes spēks ir spēks, kas ir atkarīgs no ķermeņu saskares. To var definēt kā pretēju spēku ķermeņu pārvietošanās tendencei, un tas rodas divu saskarē esošo virsmu nelīdzenumu dēļ. Attēlā bultiņas attēlo spēkus, kas iedarbojas uz ķermeni, un palielinātais punkts apzīmē nelīdzenumus, kas pastāv starp abām virsmām.
Attēlā vektori, kas attēlo spēkus, kas izraisa pārvietošanos un berzi, ir attiecīgi:
) 
B) 
ç) 
d) 
un) 
Pareizā atbilde: burts a) 
Bultiņas apzīmē spēku vektorus, kas darbojas kustībā horizontālā virzienā, būdami darbības-reakcijas pāris, tiem ir pretēji virzieni.
Vertikālās bultiņas attēlo svara spēka un parastā spēka darbības, un, tā kā tās ir vienādas, tās viena otru izslēdz, bez kustības vertikālā virzienā.
2. vingrinājums
(UEFS 2011) Attēlā redzamā vektoru diagramma iezīmē spēkus, ko divas gumijas lentes iedarbojas uz ortodontiski ārstējamas personas zobu.
Pieņemot, ka F = 10,0 N, sen45° = 0,7 un cos45° = 0,7, spēka intensitāte, ko elastības pieliek zobam, N ir vienāda ar
a) 3√10
b) 2√30
c) 2√85
d) 3√35
e) 2√45
Pareizā atbilde: c) 2√85
Zobam pieliktā spēka intensitāti iegūst ar kosinusa likumu.
a un b ir vienādi ar 10 N.
Kvadrātsaknes faktorēšana dod mums:
Tāpēc rezultējošā spēka intensitāte, ko gumijas joslas pieliek zobam, ir .
3. vingrinājums
(PUC RJ 2016) Spēki F1, F2, F3 un F4 attēlā viens pret otru veido taisnus leņķus, un to moduļi ir attiecīgi 1 N, 2 N, 3 N un 4 N.
Aprēķiniet tīrā spēka moduli N.
a) 0
b) √2
c) 2
d) 2√ 2
e) 10
Pareizā atbilde: d) 2√ 2
Mēs izmantojam daudzstūru līniju metodi, lai noteiktu iegūto vektoru. Lai to izdarītu, mēs pārkārtojam vektorus tā, lai viena beigas sakristu ar otra sākumu, piemēram:
Izmantojot koordinātu sistēmu ar izcelsmi iegūtā vektora sākumā, mēs varam noteikt tās komponentu moduļus šādi:
Tādējādi mums ir:
Ry = 3 - 1 = 2 N
Rx = 4 - 2 = 2 N
Iegūtā vektora lielumu nosaka Pitagora teorēma.
Tāpēc tīrā spēka modulis ir vienāds ar .
uzzināt vairāk par
- Vektori: saskaitīšana, atņemšana un sadalīšana.
- Vektoru daudzumi
✖
