Matricas: komentētie un atrisinātie vingrinājumi

Matrica ir tabula, ko veido reāli skaitļi, kas sakārtotas rindās un kolonnās. Skaitļus, kas parādās matricā, sauc par elementiem.

Izmantojiet atrisināto un komentēto iestājeksāmena jautājumu priekšrocības, lai novērstu visas šaubas par šo saturu.

Iestājeksāmena jautājumi ir atrisināti

1) Unicamp - 2018. gads

Ļaujiet a un b būt reāliem skaitļiem, lai matrica A = apmierina A vienādojumu²= aA + bI, kur I ir 2. kārtas identitātes matrica. Tātad reizinājums ab ir vienāds ar

a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.

Skatiet Atbilde

Lai uzzinātu produkta a.b vērtību, mums vispirms jāzina a un b vērtība. Tātad, ņemsim vērā uzdevumā sniegto vienādojumu.

Lai atrisinātu vienādojumu, aprēķināsim A vērtību², kas tiek darīts, reizinot matricu A ar sevi, tas ir:

Šo darbību veic, reizinot pirmās matricas rindas ar otrās matricas kolonnām, kā parādīts zemāk:

Tādā veidā matrica A² tas ir tāds pats kā:

Ņemot vērā tikko atrasto vērtību un atceramies, ka identitātes matricā galvenās diagonāles elementi ir vienādi ar 1 un pārējie elementi ir vienādi ar 0, vienādojums būs:

Tagad mums jāreizina matrica A ar skaitli a un identitātes matrica ar skaitli b.

Atcerieties, ka, lai reizinātu skaitli ar masīvu, mēs reizinām skaitli ar katru masīva elementu.

Tādējādi mūsu vienlīdzība būs vienāda ar:

Pievienojot abas matricas, mums ir:

Divas matricas ir vienādas, ja visi atbilstošie elementi ir vienādi. Tādā veidā mēs varam uzrakstīt šādu sistēmu:

Izolējot a otrajā vienādojumā:

Aizstājot pirmajā vienādojumā atrasto vērtību a, atrodam b vērtību:

2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1

Tādējādi produktu piešķirs:

The. b = - 1. 2
The. b = - 2

Alternatīva: a) −2.

2) Unesp - 2016. gads

Ortogonālās Dekarta plaknes koordinātu (x, y) punktu P attēlo kolonnu matrica. , kā arī kolonnu matricu ortogonālajā Dekarta plaknē norāda koordinātu punktu P (x, y). Tādējādi matricas reizināšanas rezultāts ir kolonnu matrica, kas ortogonālajā Dekarta plaknē obligāti apzīmē punktu, kas ir

a) P 180 ° pagriešana pulksteņrādītāja kustības virzienā un ar centru (0, 0).
b) P pagriešana par 90 ° pretēji pulksteņrādītāja kustības virzienam ar centru (0, 0).
c) P simetrisks attiecībā pret horizontālo x asi.
d) P simetrisks attiecībā pret vertikālo y asi.
e) P pagriešana par 90 ° pulksteņrādītāja virzienā un ar centru (0, 0).

Skatiet Atbilde

Punktu P attēlo matrica tā, ka abscisu (x) norāda ar elementu a.₁₁ un ordinātu (y) pēc elementa a₂₁ matricas.

Lai atrastu punkta P jauno pozīciju, mums jāatrisina uzrādīto matricu reizinājums, un rezultāts būs:

Rezultāts atspoguļo P punkta jauno koordinātu, tas ir, abscisē ir vienāda ar -y un ordinātu ir vienāda ar x.

Lai identificētu transformāciju, kas notikusi ar punkta P stāvokli, parādīsim situāciju Dekarta plaknē, kā norādīts zemāk:

Tāpēc punkts P, kas sākumā atradās 1. kvadrantā (pozitīvā abscisa un ordināta), pārcēlās uz 2. kvadrantu (negatīvā abscisā un pozitīvā ordināta).

Pārejot uz šo jauno pozīciju, punkts tika pagriezts pretēji pulksteņrādītāja kustības virzienam, kā attēlā redzams ar sarkano bultiņu.

Mums joprojām ir jānosaka, kāda bija rotācijas leņķa vērtība.

Savienojot punkta P sākotnējo stāvokli ar Dekarta ass centru un darot to pašu attiecībā pret tā jauno pozīciju P ', mums ir šāda situācija:

Ņemiet vērā, ka divi attēlā norādītie trīsstūri ir vienādi, tas ir, tiem ir vienādi mērījumi. Tādā veidā arī viņu leņķi ir vienādi.

Turklāt leņķi α un θ ir savstarpēji papildinoši, jo trijstūru iekšējo leņķu summa ir vienāda ar 180º un, tā kā trijstūris ir taisns leņķis, šo divu leņķu summa būs vienāda ar 90º.

Tāpēc punkta rotācijas leņķis, kas attēlā norādīts ar β, var būt vienāds ar 90 °.

Alternatīva: b) P pagriešana par 90 ° pretēji pulksteņrādītāja virzienam ar centru (0, 0).

3) Unicamp - 2017. gads

Tā kā a ir reāls skaitlis, ņemiet vērā matricu A = . Tātad²⁰¹⁷ tas ir tāds pats kā
)
B)
ç)
d)

Skatiet Atbilde

Pirmkārt, mēģināsim atrast jaudas modeli, jo tas ir daudz darba, lai matricu A reizinātu ar sevi 2017 reizes.

Atceroties, ka matricas reizināšanā katrs elements tiek atrasts, saskaitot rezultātus, reizinot viena rindas elementus ar otra kolonnas elementiem.

Sāksim ar A aprēķināšanu²:

Rezultāts bija identitātes matrica, un, reizinot jebkuru matricu ar identitātes matricu, rezultāts būs pati matrica.

Tāpēc A vērtība³ būs vienāds ar pašu matricu A, jo A³ = A². .

Šis rezultāts tiks atkārtots, tas ir, kad eksponents ir pāra, rezultāts ir identitātes matrica un, ja tas ir nepāra, tā būs pati matrica A.

Tā kā 2017. gads ir nepāra, rezultāts būs vienāds ar matricu A

Alternatīva: b)

4) UFSM - 2011. gads

Dotā diagramma attēlo konkrētās ekosistēmas vienkāršoto pārtikas ķēdi. Bultas norāda sugu, ar kuru pārējās sugas barojas. Piešķirot vērtību 1, kad viena suga barojas ar citu, un nulle, ja notiek pretējais, mums ir šāda tabula:

Matrica A = (a_ij)_4x4, kas saistīts ar tabulu, ir šāds apmācības likums:

Skatiet Atbilde

Tā kā rindas numuru norāda i, bet kolonnas numuru - j, un, aplūkojot tabulu, mēs pamanām, ka tad, kad i ir vienāds ar j vai i ir lielāks par j, rezultāts ir nulle.

Pozīcijas, ko aizņem 1, ir tās, kurās kolonnas numurs ir lielāks par rindas numuru.

Alternatīva: c)

5) Unesp - 2014. gads

Apsveriet matricas vienādojumu A + BX = X + 2C, kura nezināmā ir matrica X un visas matricas ir n kārtas kvadrāti. Nepieciešamais un pietiekamais nosacījums, lai šim vienādojumam būtu viens risinājums, ir šāds:

a) B - I ≠ O, kur I ir n kārtas identitātes matrica un O ir n kārtas nulles matrica.
b) B ir apgriezts.
c) B ≠ O, kur O ir n kārtas nulles matrica.
d) B - I ir invertējams, kur es esmu n kārtas identitātes matrica.
e) A un C ir apgriezti.

Skatiet Atbilde

Lai atrisinātu matricas vienādojumu, mums vienādības zīmes vienā pusē jāizolē X. Lai to izdarītu, sākotnēji atņemsim matricu A abās pusēs.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

Tagad atņemsim X, arī abās pusēs. Šajā gadījumā vienādojums būs:

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X. (B - I) = 2C - A

Tā kā es esmu identitātes matrica, reizinot matricu ar identitāti, rezultāts ir pati matrica.

Tātad, lai izolētu X, mums tagad jāreizina vienādības zīmes abas puses ar (B-I) apgriezto matricu, tas ir:

X. (B - I). (B - I) ^{- 1} = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Atceroties, ka tad, kad matrica ir invertējama, matricas reizinājums ar apgriezto skaitli ir vienāds ar identitātes matricu.
X = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Tādējādi vienādojumam būs risinājums, kad B - I ir apgriezts.

Alternatīva: d) B - I ir invertējams, kur es esmu n kārtas identitātes matrica.

6) Enem - 2012. gads

Kāds students tabulā ierakstīja dažu savu priekšmetu divreiz mēnesī iegūtās atzīmes. Viņš atzīmēja, ka tabulas skaitliskie ieraksti veidoja 4x4 matricu un ka viņš varēja aprēķināt šo disciplīnu gada vidējos rādītājus, izmantojot matricu reizinājumu. Visiem testiem bija vienāds svars, un viņa iegūtā tabula ir parādīta zemāk

Lai iegūtu šos vidējos rādītājus, viņš tabulas iegūto matricu reizināja ar

Skatiet Atbilde

Aritmētisko vidējo aprēķina, saskaitot visas vērtības un dalot ar vērtību skaitu.

Tādējādi studentam jāpievieno 4 bimesteru atzīmes un jāsadala rezultāts ar 4 vai jāreizina katra atzīme ar 1/4 un jāpievieno visi rezultāti.

Izmantojot matricas, mēs varam sasniegt to pašu rezultātu, veicot matricas reizināšanu.

Tomēr mums jāatceras, ka divas matricas reizināt ir iespējams tikai tad, ja kolonnu skaits vienā ir vienāds ar rindu skaitu otrā.

Tā kā piezīmju matricā ir 4 kolonnas, matricai, kuru mēs pavairosim, jābūt 4 rindām. Tādējādi mums jāreizina ar kolonnu matricu:

Alternatīva: un

7) Fuvest - 2012. gads

Apsveriet matricu , uz ko The ir reāls skaitlis. Zinot, ka A atzīst apgriezto A^-1 kura pirmā kolonna ir , A galvenās diagonāles elementu summa^-1 tas ir tāds pats kā

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Skatiet Atbilde

Matricas reizināšana ar apgriezto skaitli ir vienāda ar identitātes matricu, tāpēc situāciju varam attēlot ar šādu darbību:

Atrisinot pirmās matricas otrās rindas reizināšanu ar otrās matricas pirmo kolonnu, mums ir šāds vienādojums:

(līdz 1). (2a - 1) + (a + 1). (- 1) = 0
2² - a - 2a + 1 + (-a) + (-1) = 0
2² - 4. = 0
2. (a - 2) = 0
a - 2 = 0
a = 2

Aizstājot matricā a vērtību, mums ir:

Tagad, kad mēs zinām matricu, aprēķināsim tās noteicošo faktoru:

Tādējādi galvenās diagonāles summa būs vienāda ar 5.

Alternatīva: a) 5

Lai uzzinātu vairāk, skatiet arī:

• Matricas
• Noteicošie faktori
• Sarrusa likums
• Laplasa teorēma
• Transponētā matrica