Trigonometrija ir svarīga matemātikas tēma, kas ļauj papildus citām trigonometriskām funkcijām uzzināt sānus un leņķus taisnā trīsstūrī, izmantojot sinusu, kosinusu un tangenci.
Lai uzlabotu studijas un paplašinātu zināšanas, sekojiet 8 vingrinājumu sarakstam, kā arī 4 iestājeksāmena jautājumiem, kuri visi ir atrisināti soli pa solim.
1. vingrinājums
No rīta novērojot ēkas ēnu uz zemes, viena persona atklāja, ka tā ir 63 metrus liela, kad saules stari ir 30 ° leņķī ar virsmu. Pamatojoties uz šo informāciju, aprēķiniet ēkas augstumu.
Pareiza atbilde: Aptuveni 36,37 m.
Ēka, ēna un saules stars nosaka taisnu trīsstūri. Izmantojot 30 ° leņķi un pieskārienu, mēs varam noteikt ēkas augstumu.
Tā kā ēkas augstums ir h, mums ir:
2. vingrinājums
Apkārtmērā ar diametru 3 segments AC, ko sauc par akordu, veido 90 ° leņķi ar citu tāda paša garuma akordu CB. Kāds ir stīgu mērs?
Pareiza atbilde: Virves garums ir 2,12 cm.
Tā kā segmenti AC un CB veido 90 ° leņķi un ir vienāda garuma, izveidojies trīsstūris ir vienādsānu un pamatnes leņķi ir vienādi.
Tā kā trijstūra iekšējo leņķu summa ir vienāda ar 180 °, un mums jau ir 90 ° leņķis, ir palikuši vēl 90 °, kas jāsadala vienādi starp abiem pamatleņķiem. Tādējādi to vērtība ir vienāda ar 45º.
Tā kā diametrs ir vienāds ar 3 cm, rādiuss ir 1,5 cm, un, lai noteiktu virknes garumu, mēs varam izmantot kosinusu 45 °.
3. vingrinājums
Velosipēdists, kurš piedalās čempionātā, finiša līnijai tuvojas nogāzes galā. Šīs pēdējās sacensību daļas kopējais garums ir 60 m, un leņķis, kas veidojas starp rampu un horizontāli, ir 30 °. Zinot to, aprēķiniet vertikālo augstumu, kādā riteņbraucējam jākāpj.
Pareiza atbilde: augstums būs 30 m.
Zvanot uz augstumu h, mums ir:
4. vingrinājums
Nākamo attēlu veido trīs trīsstūri, kur augstums h nosaka divus taisnus leņķus. Elementa vērtības ir:
α = 30°
β = 60°
h = 21
Atrodiet a + b vērtību.
Pareiza atbilde:
Izmantojot noteikto leņķu pieskares, mēs varam noteikt segmentu a un b mērījumus.
Aprēķins:
B aprēķins:
Tādējādi
5. vingrinājums
Lidmašīna pacēlās no A pilsētas un 50 km taisnā līnijā lidoja, līdz nolaidās B pilsētā. Pēc tam tas lidoja vēl 40 km, šoreiz virzoties uz D pilsētas pusi. Šie divi maršruti atrodas 90 ° leņķī viens pret otru. Tomēr nelabvēlīgo laika apstākļu dēļ pilots saņēma vadības torņa paziņojumu, kurā viņš informēja, ka viņš nevar nosēsties D pilsētā un ka viņam jāatgriežas A pilsētā.
Lai veiktu pagriezienu no punkta C, pilotam būtu jāveic pagrieziens par cik grādiem pa labi?
Apsveriet:
grēks 51 ° = 0,77
cos 51 ° = 0,63
iedegums 51 ° = 1,25
Pareiza atbilde: Pilotam jāveic pagrieziens par 129 ° pa labi.
Analizējot skaitli, mēs redzam, ka ceļš veido taisnu trīsstūri.
Sauksim leņķi, kuru meklējam W. Leņķi W un Z ir papildu, tas ir, tie veido seklu 180 ° leņķi.
Tādējādi W + Z = 180 °.
W = 180 - Z (1. vienādojums)
Mūsu uzdevums tagad ir noteikt Z leņķi, un tāpēc mēs izmantosim tā pieskārienu.
Mums jājautā sev: kāds ir leņķis, kura pieskare ir 1,25?
Problēma dod mums šos datus, iedegums 51 ° = 1,25.
Šo vērtību var atrast arī trigonometriskajā tabulā vai ar zinātnisku kalkulatoru, izmantojot funkciju:
Aizstājot Z vērtību 1. vienādojumā, mums ir:
W = 180 ° - 51 ° = 129 °
6. vingrinājums
Vienkrāsainas gaismas stars, pārejot no viena nesēja uz citu, cieš novirzi pret to. Šīs izmaiņas tās izplatībā ir saistītas ar barotnes refrakcijas rādītājiem, kā parādīts šādā sakarībā:
Snella likums - Dekarts
Kur i un r ir krituma un refrakcijas leņķi un, n1 un n2, 1. un 2. vidējā līmeņa refrakcijas rādītāji.
Sasitot gaisa un stikla atdalīšanas virsmu, gaismas stars maina virzienu, kā parādīts attēlā. Kāds ir stikla laušanas koeficients?
Dati: gaisa refrakcijas indekss ir vienāds ar 1.
Pareiza atbilde: Stikla laušanas koeficients ir vienāds ar .
Mums esošo vērtību aizstāšana:
7. vingrinājums
Lai ievilktu koka baļķi savā darbnīcā, atslēdznieks piesēja pie baļķa auklu un pavilka to desmit pēdas pāri horizontālai virsmai. 40 N spēks caur auklu izveidoja 45 ° leņķi ar braukšanas virzienu. Aprēķiniet pielietotā spēka darbu.
Pareiza atbilde: Veiktais darbs ir aptuveni 84,85 J.
Darbs ir skalārs lielums, ko iegūst ar spēka un pārvietošanās reizinājumu. Ja spēkam nav tāds pats virziens kā pārvietojumam, mums šis spēks ir jāsadala un jāņem vērā tikai komponents šajā virzienā.
Šajā gadījumā mums spēka lielums jāreizina ar leņķa kosinusu.
Tātad mums ir:
8. vingrinājums
Starp diviem kalniem divu ciematu iedzīvotājiem nācās smagi ceļot augšup un lejup. Lai atrisinātu situāciju, tika nolemts, ka starp A un B ciematiem tiks uzbūvēts vanšu tilts.
Būtu nepieciešams aprēķināt attālumu starp abiem ciemiem pēc taisnas līnijas, uz kuras tiks izstiepts tilts. Tā kā iedzīvotāji jau zināja pilsētu augstumu un kāpšanas leņķus, šo attālumu varēja aprēķināt.
Pamatojoties uz zemāk redzamo diagrammu un zinot, ka pilsētu augstums bija 100 m, aprēķiniet tilta garumu.
Pareiza atbilde: Tilta garumam jābūt aptuveni 157,73 m.
Tilta garums ir sānu summa, kas atrodas blakus dotajiem leņķiem. Zvanot uz augstumu h, mums ir:
Aprēķins ar 45 ° leņķi
Aprēķins ar 60 ° leņķi
Lai noteiktu tilta garumu, mēs summējam iegūtās vērtības.
jautājums 1
Cefets - SP
Zemāk esošajā trijstūrī ABC CF = 20 cm un BC = 60 cm. Atzīmējiet attiecīgi AF un BE segmentu mērījumus.
a) 5, 15
b) 10, 20
c) 15, 25
d) 20, 10
e) 10, 5
Atbilde: b) 10, 20
Lai noteiktu AF
Mēs atzīmējam, ka AC = AF + CF, tāpēc mums ir:
AF = AC - CF (1. vienādojums)
CF dod problēma, kas ir vienāda ar 20 cm.
AC var noteikt, izmantojot 30 ° sinusu.
BC nodrošina problēma, kas ir vienāda ar 60 cm.
Aizstājot 1. vienādojumu, mums ir:
Lai noteiktu BE
Pirmais novērojums:
Mēs pārbaudām, vai trīsstūra iekšpusē esošais skaitlis ir taisnstūris, pateicoties taisnajiem leņķiem, kas noteikti attēlā.
Tāpēc viņu puses ir paralēlas.
Otrais novērojums:
BE segments veido taisnleņķa trīsstūri ar 30 ° leņķi, kur: augstums ir vienāds ar AF, ko tikko noteicām, un BE ir hipotenūza.
Aprēķina veikšana:
BE noteikšanai mēs izmantojam 30 ° sinusu
2. jautājums
EPCAR-MG
Lidmašīna paceļas no punkta B nemainīgā 15 ° slīpumā pret horizontāli. 2 km attālumā no B ir 600 m augsta kalnu grēda augstākā punkta D vertikālā projekcija C, kā parādīts attēlā.
Dati: cos 15 ° = 0,97; grēks 15 ° = 0,26; tg 15 ° = 0,27
Ir pareizi teikt, ka:
a) Lidmašīna nesadurīsies ar zāģi, pirms tā nav sasniegusi 540 m augstumu.
b) 540 m augstumā notiks lidmašīnas un zāģa sadursme.
c) Lidmašīna sadurīsies ar zāģi pie D.
d) Ja plakne paceļas 220 m pirms B, saglabājot vienādu slīpumu, plakne nesaskaras ar zāģi.
Atbilde: b) 540 m augstumā notiks sadursme starp plakni un zāģi.
Pirmkārt, ir jāizmanto tas pats garuma mērvienības daudzkārtnis. Tāpēc mēs nobrauksim 2 km līdz 2000 m.
Ievērojot tos pašus sākotnējos lidojuma apstākļus, mēs varam paredzēt augstumu, kādā plakne atradīsies punkta C vertikālajā projekcijā.
Izmantojot 15 ° pieskārienu un nosakot augstumu kā h, mums ir:
3. jautājums
ENEM 2018
Lai izrotātu taisnu apļveida cilindru, tiks izmantota taisnstūra caurspīdīga papīra sloksne, uz kuras treknrakstā tiek uzzīmēta diagonāle, kas ar apakšējo malu veido 30 °. Cilindra pamatnes rādiuss ir 6 / π cm, un, tinot sloksni, tiek iegūta līnija spirāles formā, kā parādīts attēlā.
Balona augstuma mērījuma vērtība centimetros ir:
a) 36√3
b) 24√3
c) 4√3
d) 36
e) 72
Atbilde: b) 24√3
Vērojot skaitli, mēs pamanām, ka ap cilindru tika veikti 6 pagriezieni. Tā kā tas ir taisns cilindrs, jebkur tā augstumā mums būs aplis kā pamats.
Lai aprēķinātu trijstūra pamatnes mērījumu.
Apļa garumu var iegūt no formulas:
Kur r ir rādiuss e, vienāds ar ,mums ir:
Kā klājas 6 apļiem:
Lai aprēķinātu augstumu, mēs varam izmantot 30 ° iedegumu.
4. jautājums
ENEM 2017
Saules stari sasniedz ezera virsmu X leņķī ar tā virsmu, kā parādīts attēlā.
Noteiktos apstākļos var pieņemt, ka šo staru gaismas intensitāti uz ezera virsmas izsaka aptuveni ar I (x) = k. sin (x), k ir konstante un pieņemot, ka X ir no 0 ° līdz 90 °.
Kad x = 30º, gaismas intensitāte tiek samazināta līdz procentam no tās maksimālās vērtības?
A) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70%
E) 86%
Atbilde: B) 50%
Funkcijā aizstājot 30 ° sinusa vērtību, iegūstam:
Samazinot k vērtību uz pusi, intensitāte ir 50%.
Vingriniet vairāk vingrinājumu:
Trigonometrijas vingrinājumi
Paplašiniet savas zināšanas ar:
Trigonometrija taisnleņķa trīsstūrī
Metriskās attiecības taisnstūra trīsstūrī
Trigonometrija