Viens otrās pakāpes vienādojums ir viss vienādojums formā cirvis2 + bx + c = 0, ar reāliem skaitļiem a, b un c un a ≠ 0. Lai atrisinātu šāda veida vienādojumu, varat izmantot dažādas metodes.
Izmantojiet zemāk aprakstīto vingrinājumu komentētās izšķirtspējas, lai notīrītu visas šaubas. Pārbaudiet savas zināšanas arī ar atrisinātajiem konkursa jautājumiem.
Komentētie vingrinājumi
1. vingrinājums
Manas mammas vecums, reizināts ar manu vecumu, ir 525. Ja man piedzimstot, manai mātei bija 20 gadu, cik man gadu?
Risinājums
Ņemot vērā, ka mans vecums ir vienāds ar x, tad mēs varam uzskatīt, ka manas mātes vecums ir vienāds ar x + 20. Tad kā mēs zinām sava laikmeta produkta vērtību:
x. (x + 20) = 525
Piemērošana reizināšanas izplatīšanas īpašībām:
x2 + 20 x - 525 = 0
Pēc tam mēs nonākam pie pilnīga 2. pakāpes vienādojuma ar a = 1, b = 20 un c = - 525.
Lai aprēķinātu vienādojuma saknes, tas ir, x vērtības, kur vienādojums ir vienāds ar nulli, izmantosim Bhaskara formulu.
Pirmkārt, mums jāaprēķina ∆ vērtība:
Lai aprēķinātu saknes, mēs izmantojam:
Aizstājot vērtības iepriekšminētajā formulā, mēs atradīsim vienādojuma saknes, piemēram:
Tā kā mans vecums nevar būt negatīvs, mēs nicinām vērtību -35. Tātad rezultāts ir 15 gadi.
2. vingrinājums
Kvadrātam, kas attēlots zemāk redzamajā attēlā, ir taisnstūra forma, un tā laukums ir vienāds ar 1 350 m2. Zinot, ka tā platums atbilst 3/2 tā augstumam, nosakiet kvadrāta izmērus.
Risinājums
Ņemot vērā, ka tā augstums ir vienāds ar x, tad platums būs vienāds ar 3 / 2x. Taisnstūra laukumu aprēķina, reizinot tā pamatu ar augstuma vērtību. Šajā gadījumā mums ir:
Mēs nonākam līdz nepilnīgam 2. pakāpes vienādojumam ar a = 3/2, b = 0 un c = - 1350, mēs varam aprēķināt šāda veida vienādojumu, izolējot x un aprēķinot kvadrātsaknes vērtību.
Tā kā x vērtība apzīmē augstuma mēru, mēs neņemsim vērā - 30. Tādējādi taisnstūra augstums ir vienāds ar 30 m. Lai aprēķinātu platumu, reizināsim šo vērtību ar 3/2:
Tāpēc kvadrāta platums ir vienāds ar 45 m un tā augstums ir vienāds ar 30 m.
3. vingrinājums
Tātad, ka x = 1 ir vienādojuma 2ax sakne2 + (22 - a - 4) x - (2 + a2) = 0, a vērtībām jābūt:
a) 3 un 2
b) - 1 un 1
c) 2 un - 3
d) 0 un 2
e) - 3 un - 2
Risinājums
Lai atrastu a vērtību, vispirms aizstāsim x ar 1. Tādā veidā vienādojums izskatīsies šādi:
2.a.12 + (22 - līdz - 4). 1 - 2 - a2 = 0
2. + 22 - uz - 4 - 2 - uz2 = 0
The2 + līdz - 6 = 0
Tagad mums jāaprēķina pilnīga 2. pakāpes vienādojuma sakne, tāpēc mēs izmantosim Bhaskaras formulu.
Tāpēc pareizā alternatīva ir burts C.
Konkursa jautājumi
1) Epcar - 2017. gads
Apsveriet vienādojumu (m+2) x2 - 2mx + (m - 1) = 0 mainīgajā x, kur m ir reāls skaitlis, kas nav - 2.
Pārskatiet tālāk minētos apgalvojumus un novērtējiet tos kā V (TRUE) vai F (FALSE).
() Visiem m> 2 vienādojumam ir noteikts tukšs risinājums.
() Vienādojumam ir divas reālas m vērtības, lai atzītu vienādas saknes.
() Ja vienādojumā ∆> 0, tad m var pieņemt tikai pozitīvas vērtības.
Pareiza secība ir
a) V - V - V
b) F - V - F
c) F - F - V
d) V - F - F
Apskatīsim katru no šiem apgalvojumiem:
Visiem m> 2 vienādojumam ir tukšs risinājumu kopums
Tā kā vienādojums ir otrās pakāpes ℝ, tam nebūs risinājuma, ja delta ir mazāka par nulli. Aprēķinot šo vērtību, mums ir:
Tātad pirmais apgalvojums ir patiess.
Ir divas reālās m vērtības, lai vienādojums atzītu vienādas saknes.
Vienādojumam būs vienādas reālās saknes, kad Δ = 0, tas ir:
- 4m + 8 = 0
m = 2
Tāpēc apgalvojums ir kļūdains, jo m ir tikai viena vērtība, kur saknes ir reālas un vienādas.
Ja vienādojumā ∆> 0, tad m var iegūt tikai pozitīvas vērtības.
Ja Δ> 0, mums ir:
Tā kā bezgalīgo reālo skaitļu kopā ir negatīvi skaitļi, kas ir mazāki par 2, apgalvojums ir arī nepatiess.
D alternatīva: V-F-F
2) Coltec - UFMG - 2017. gads
Laurai ir jāatrisina 2. pakāpes vienādojums “mājās”, taču viņa saprot, ka, kopējot no tāfeles uz piezīmju grāmatiņu, viņa aizmirsa nokopēt x koeficientu. Lai atrisinātu vienādojumu, viņš to ierakstīja šādi: 4x2 + cirvis + 9 = 0. Tā kā viņa zināja, ka vienādojumam ir tikai viens risinājums un šis ir pozitīvs, viņa varēja noteikt a vērtību, kas ir
a) - 13
b) - 12
c) 12
d) 13
Kad 2. pakāpes vienādojumam ir viens risinājums, delta no Bhaskaras formulas ir vienāda ar nulli. Tātad, lai atrastu vērtību The, vienkārši aprēķiniet deltu, tās vērtību pielīdzinot nullei.
Tātad, ja a = 12 vai a = - 12, vienādojumam būs tikai viena sakne. Tomēr mums joprojām ir jāpārbauda, kuras no vērtībām The rezultāts būs pozitīva sakne.
Šim nolūkam meklēsim sakni, vērtību The.
Tātad, ja a = -12, vienādojumam būs tikai viena sakne un pozitīvs.
B alternatīva: -12
3) Enem - 2016. gads
Tuneļam jābūt noslēgtam ar betona segumu. Tuneļa un betona seguma šķērsgriezumam ir parabola arkas kontūras un vienādi izmēri. Lai noteiktu darba izmaksas, inženierim jāaprēķina laukums zem attiecīgā paraboliskā loka. Izmantojot horizontālo asi zemes līmenī un parabola simetrijas asi kā vertikālo asi, viņš ieguva šādu parabola vienādojumu:
y = 9 - x2, kur x un y mēra metros.
Ir zināms, ka šāds parabola laukums ir vienāds ar 2/3 no taisnstūra laukuma, kura izmēri attiecīgi ir vienādi ar tuneļa ieejas pamatu un augstumu.
Kāda ir betona seguma priekšpuses platība kvadrātmetros?
a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54
Lai atrisinātu šo problēmu, mums jāatrod tuneļa ieejas pamatnes un augstuma mērījumi, kā problēma mums saka, ka priekšpuses laukums ir vienāds ar 2/3 no taisnstūra laukuma ar šiem izmēriem.
Šīs vērtības tiks atrastas no norādītā 2. pakāpes vienādojuma. Šī vienādojuma parabolai ir ieliekums, jo koeficients The ir negatīva. Zemāk ir šīs līdzības izklāsts.
Pēc grafika mēs varam redzēt, ka tuneļa pamatnes izmērs tiks atrasts, aprēķinot vienādojuma saknes. Jau tā augstums būs vienāds ar virsotnes mērījumu.
Lai aprēķinātu saknes, mēs novērojam, ka vienādojums 9 - x2 ir nepilnīgs, tāpēc saknes varam atrast, vienādojot vienādojumu ar nulli un izolējot x:
Tāpēc tuneļa pamatnes izmērs būs vienāds ar 6 m, tas ir, attālums starp abām saknēm (-3 un 3).
Aplūkojot grafiku, mēs redzam, ka virsotnes punkts atbilst y ass vērtībai, ka x ir vienāds ar nulli, tāpēc mums ir:
Tagad, kad mēs zinām tuneļa pamatnes un augstuma mērījumus, mēs varam aprēķināt tā laukumu:
C) alternatīva: 36
4) Cefets - RJ - 2014. gads
Kādai "a" vērtībai vienādojumam (x - 2). (2ax - 3) + (x - 2). (- ax + 1) = 0 ir divas saknes un vienāds?
līdz 1
b) 0
c) 1
d) 2
Lai 2. pakāpes vienādojumam būtu divas vienādas saknes, nepieciešams, lai Δ = 0, tas ir, b2-4ac = 0. Pirms delta aprēķināšanas mums jāieraksta vienādojums cirvja formā2 + bx + c = 0.
Mēs varam sākt, piemērojot izplatīšanas īpašumu. Tomēr mēs atzīmējam, ka (x - 2) tiek atkārtots abos terminos, tāpēc to pierādīsim:
(x - 2) (2ax -3 - ax + 1) = 0
(x - 2) (cirvis -2) = 0
Izplatot produktu, mums ir:
cirvis2 - 2x - 2ax + 4 = 0
Aprēķinot Δ un vienādojot ar nulli, mēs atrodam:
Tātad, kad a = 1, vienādojumam būs divas vienādas saknes.
C alternatīva: 1
Lai uzzinātu vairāk, skatiet arī:
- Otrās pakāpes vienādojums
- Pirmās pakāpes vienādojums
- Kvadrātiskā funkcija
- Kvadrātiskā funkcija - vingrinājumi
- Lineārā funkcija
- Saistīto funkciju vingrinājumi