Apsveriet polinoma vienādojums zemāk, kur visi koeficienti TheNēir veseli skaitļi:
TheNēxNē +n-1xn-1 +n-2xn-2 +… +2x2 +1x + a0 = 0
O Racionālo sakņu teorēma garantē, ka, ja šis vienādojums atzīst racionālo skaitli P/kas kā sakne (ar P
, kas 
un mdc (p, q) = 1), tad The0 ir dalāms ar P un TheNē ir dalāms ar kas.
Komentāri:
1º) Racionālo sakņu teorēma negarantē, ka polinoma vienādojumam ir saknes, bet, ja tādas pastāv, teorēma ļauj mums identificēt visas saknes no vienādojuma;
2º) ja TheNē= 1 un pārējie koeficienti ir veseli skaitļi, vienādojumam ir tikai veselu skaitļu saknes.
3°) ja q = 1 un ir racionālas saknes, tās ir veselas un dalītājas The0.
Racionālo sakņu teorēmas piemērošana:
Izmantosim teorēmu, lai atrastu visas polinoma vienādojuma saknes 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0.
Pirmkārt, identificēsim šī vienādojuma iespējamās racionālās saknes, tas ir, formas saknes P/kas. Saskaņā ar teorēmu The0 ir dalāms ar P; šādā veidā, kā The0 = 12, tad iespējamās vērtības P ir {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}. Līdzīgi mums tas ir jādara
TheNē ir dalāms ar kas un TheNē = 2, pēc tam kas var būt šādas vērtības: {± 1, ± 2}. Tāpēc, dalot vērtības P par kas, mēs iegūstam iespējamās vērtības P/kas vienādojuma saknes: {+ ½, - ½, +1, - 1, +3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.Lai apstiprinātu, ka atrastās vērtības patiešām ir polinoma vienādojuma sakne, aizvietosim katru vērtību x vienādojuma. Caur algebriskais aprēķins, ja polinoma rezultātā nulle, tātad aizvietotais skaitlis patiesībā ir vienādojuma sakne.
2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0
Par x = + ½
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
Par x = - ½
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
Nepārtrauciet tūlīt... Pēc reklāmas ir vēl vairāk;)
Ja x = + 1
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
Par x = - 1
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
Par x = + 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
Par x = - 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
Par x = + 2
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
Par x = - 2
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
Par x = + 3
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
Par x = - 3
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
Par x = + 4
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
Par x = - 4
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
Par x = + 6
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
Par x = - 6
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
Par x = + 12
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
Par x = - 12
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
Tāpēc polinoma vienādojuma saknes 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0 viņi ir {– 3, – 2, ½, 2}. Caur polinoma sadalīšanās teorēma, mēs varētu uzrakstīt šo vienādojumu kā (x + 3). (x + 2). (x - ½). (x - 2)= 0.
Autore Amanda Gonsalvesa
Beidzis matemātiku
Vai vēlaties atsaukties uz šo tekstu skolas vai akadēmiskajā darbā? Skaties:
RIBEIRO, Amanda Gonsalvesa. "Racionālo sakņu teorēma"; Brazīlijas skola. Pieejams: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm. Piekļuve 2021. gada 28. jūnijam.
