Polihedra (no latīņu valodas poli - daudzi - un hedrons - seja) ir skaitļitrīsdimensiju ko veido regulāru daudzstūru savienojums, kurā visi daudzstūru leņķi ir vienādi. Šo daudzstūru savienība veido elementus, kas veido daudzstūri, tie ir: virsotnes, malas un sejas. Tomēr ne katra trīsdimensiju figūra ir daudzskaldnis, kā piemēru var minēt figūras, kurām ir izliektas sejas, apaļi ķermeņi.
Ir matemātiska formula, kas saista daudzstūra elementus, kurus sauc Eulera attiecības. Turklāt daudzskaldņi ir sadalīti divās grupās: tā sauktās daudzskaldnes izliekta un nav izliekta. Daži daudzskaldņi ir pelnījuši īpašu uzmanību, tos sauc Platona daudzskaldnis: tetraedrs, sešstūris, oktaedrs, dodekaedrs un ikosaedrs.
Lasiet arī: Plakano un telpisko figūru atšķirības
izliekta polihedra
Daudzstūris būs izliekts, kad to izveidos daudzstūri izliekts, lai tiktu pieņemti šādi nosacījumi:
- divi no daudzstūriem Nekad tie ir koplāniski, tas ir, tie nepieder pie vienas plaknes.
- Katra šī daudzstūra puse pieder tikai diviem daudzstūriem.
- Plakne, kurā atrodas kāds no šiem daudzstūriem, pārējos daudzstūrus atstāj tajā pašā pusplatumā.
Lasiet arī:Izliekta daudzstūra iekšējo un ārējo leņķu summa
Izliekta daudzstūra elementi
Apsveriet šo izliekto daudzstūri:
Jūs četrstūri attēlā tiek saukti sejas daudzskaldnis.
Jūs piecstūri ir nosaukta daudzstūra sejas un pamatne piecstūrains pamatnes daudzstūris.
Tiek saukti segmenti, kas veido katru seju malas daudzskaldnis.
Tiek saukti punkti, kur malas saskaras virsotnes.
Tiks izsaukts līnijas segments JC pa diagonāli daudzskaldņa, ko apzīmē ar:
JC ir viena no diagonālēm, mēs saprotam pa diagonāli daudzskaldnis kā līnijas segments, kas savieno divas virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai sejai.
Nepārtrauciet tūlīt... Pēc reklāmas ir vairāk;)
Mums ir arī daudzstūra leņķis, kas izveidots starp malām, ko apzīmē ar:
Daudzstūra leņķi sauc par a trihedral Kad trīs malas rodas no virsotnes. Tāpat to sauc tetraedrs, gadījumā četri malas rodas no virsotnes utt.
Turpmāk mēs izveidosim dažus apzīmējumus, tie ir:
Uzziniet vairāk: Ģeometrisko cietvielu plānošana
Izliekta politehrona īpašības
1. īpašums
Visu seju malu summa ir vienāda ar divkāršu daudzstūra malu skaitu.
Piemērs
Daudzstūrim ir 6 kvadrātveida sejas. Noteiksim malu skaitu.
Saskaņā ar īpašumu vienkārši reiziniet sejas malu skaitu ar seju skaitu, un tas ir vienāds ar divkāršu malu skaitu. Tādējādi:
2. īpašums
Visu seju virsotņu summa ir vienāda ar visu seju malu summu, kas ir vienāda ar divkāršu malu skaitu.
Piemērs
Daudzskaldnis ar 5 tetraedriskiem leņķiem un 4 sešstūra leņķiem. Noteiksim malu skaitu.
Līdzīgi kā iepriekšējā piemērā, otrais rekvizīts saka, ka visu seju malu summa ir vienāda ar divkāršu malu skaitu. Malu skaitu izsaka reizinājums 5 ar 4 un 4 ar 6, jo tie ir 5 tetraedriski un 4 sešstūra leņķi. Tādējādi:
Ieliekta (neizliekta) daudzskaldnis
Daudzskaldnis nav izliekts vai ieliekts, ja mēs ņemam divus punktus uz dažādām sejām un taisni r kas satur šos punktus, ne vienmēr ir daudzskaldnis.
Ņemiet vērā, ka taisnā līnija (zilā krāsā) daudzstūrī nav pilnīga, tāpēc daudzstūris (rozā krāsā) ir ieliekts vai neizliekts.
regulāra polihedra
Mēs sakām, ka daudzskaldnis ir regulārs, kad jūsu sejas ir regulāri daudzstūri vienāds viens ar otru un ar daudzstūru leņķiem vienādi.
Skatiet dažus piemērus:
Ievērojiet, ka visas jūsu sejas ir regulāri daudzstūri. Tās sejas veido kvadrāti, un visas malas ir vienādas, tas ir, tām ir vienāds izmērs.
lasītarī: Kas ir parastie un izliektie daudzstūri?
Eulera attiecības
Zināms arī kā Eulera teorēma, rezultātu pierādīja Leonhards Eulers (1707 - 1783) un garantē, ka viss slēgtais izliektais daudzstūris ir spēkā šādas attiecības:
Platona polihedra
Jebkuru daudzstūri, kas atbilst šādiem nosacījumiem, sauc par Platona daudzskaldni:
Eulera saistība ir derīga
Visām sejām ir vienāds malu skaits
Visiem daudzskaldņu leņķiem ir vienāds malu skaits
Ir pierādīts, ka pastāv tikai pieci parastie un izliektie daudzskaldņi jeb Platona daudzskaldņi, tie ir:
regulārs tetraedrs
tetraedram ir 4 trīsstūrveida sejas saskanīgs un 4 trīsstūrveida leņķi saskanīgs.
parasts sešstūris
sešstūrim ir 6 kvadrātveida sejas saskanīgs un 8 trīsstūrveida leņķi saskanīgs.
parastais oktaedrs
oktaedram ir 8 trīsstūrveida sejas saskanīgs un 6 tetraedriski leņķi saskanīgs.
parasts dodekaedrs
dodekaedram ir 12 piecstūru sejas saskanīgs un 20 leņķitrihedral saskanīgs.
parasts ikosaedrs
Ikosaedram ir 20 trīsstūrveida sejas saskanīgs un 12 piecstūra leņķi saskanīgs.
atrisināti vingrinājumi
1) (Enem) Dārgakmens tika sagriezts 32 sejas izliekta daudzstūra formā, no kuriem 20 ir sešstūra formas, bet pārējie ir piecstūraini. Šis dārgakmens būs dāvana dāmai, kura svin savu dzimšanas dienu, pabeidzot vecumu, kura skaitlis ir šī daudzskaldņa virsotņu skaits. Šī dāma pabeidz:
a) 90 gadi
b) 72 gadus vecs
c) 60 gadus vecs
d) 56 gadus vecs
e) 52 gadus vecs
Risinājums:
Dod 1. īpašums no izliektām daudzskaldnēm mēs zinām, ka:
Tagad kā mēs zinām, cik malu tas ir seju skaits, mēs varam izmantot relāciju Euler.
Tā kā vecums, kuru jūs izpildāt, ir vienāds ar virsotņu skaitu, tad tas ir 60 gadi. C. Alternatīva
2) (SPRK-SP) Cik daudz malu izliekts daudzstūris ar trīsstūrveida sejām, kur virsotņu skaits ir trīs piektdaļas seju skaita?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Risinājums:
No izliekta daudzstūra īpašībām un uzdevuma paziņojuma mums ir:
Aizstājot šīs vērtības Euler attiecībās, mums ir šādas iespējas:
Organizējot iepriekšējo vienādojumu un atrisinot vienādojumu F, izriet, ka:
Aizstājot malu vienādojumā atrasto seju skaita vērtību, mums būs:
Alternatīva b
autors Robsons Luizs
Matemātikas skolotājs
Vai vēlaties atsaukties uz šo tekstu skolas vai akadēmiskajā darbā? Skaties:
LUIZ, Robsons. "Polihedra"; Brazīlijas skola. Pieejams: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/poliedros.htm. Piekļuve 2021. gada 27. jūnijam.
